Invariancia de calibre del lagrangiano de Yang-Mills

Question

Invariancia de calibre del lagrangiano de Yang-Mills

Física
yang-mills
teoría de calibre
invariancia de calibre
formalismo lagrangiano

Megahyttel

Estoy tratando de mostrar la invariancia de calibre del lagrangiano de Yang-Mills

L = - \frac{1}{4} F_{m v}^{a} F^{m v, a} + \sum_{i, j}^{norte} {\bar{ψ}}_{i} (d_{i j} i \partial_{α} γ^{α} - d_{i j} metro + gramo A_{α}^{a} γ^{α} T_{i j}^{a}) ψ_{j},

$\mathcal{L}= -\frac{1}{4}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,a}+\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} (\delta _{ij}i\partial_{\alpha}\gamma^{\alpha } -\delta _{ij}m+gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij})\psi_{j},$ reescribiéndola en términos de la derivada covariante

D_{μ} = \partial_{μ} - i g A_{μ}^{a} T^{a},

$D_{\mu}=\partial_{\mu}-igA^{a}_{\mu}T^{a},$ por lo que se que

F_{μ ν} = \frac{i}{g} [D_{μ}, D_{ν}],

$F_{\mu \nu }=\frac{i}{g}[D_{\mu},D_{\nu}],$ (dónde

F_{μ ν} = F_{μ ν}^{a} T^{a}

$F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}$ ) y que se transforma como

D_{μ} \to U (x) D_{μ} U^{- 1} (x)

$D_{\mu} \rightarrow U(x)D_{\mu}U^{-1}(x)$ bajo la transformación de norma. Estoy atascado con las siguientes dos preguntas:

Al evaluar la transformación del primer término, he visto la identidad
$- \frac{1}{4} F_{m v}^{a} F^{m v, a} = - \frac{1}{2} F_{m v}^{a} F^{m v, b} tr [T^{a} T^{b}] = - \frac{1}{2} tr [F_{m v} F^{m v}]$ $-\frac{1}{4}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,a}=-\frac{1}{2}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,b}\text{tr}[T^{a}T^{b}]=-\frac{1}{2} \text{tr} [F_{\mu \nu }F^{\mu \nu}]$ se ha utilizado, pero no entiendo la segunda igualdad. Los componentes del tensor de campo de Yang-Mills son matrices, entonces, ¿cómo se justifica incluirlos en la traza? (Se entiende que eso $T^{a}$ matrices se ha normalizado de modo que $\text{tr}[T^{a}T^{b}]=\frac{1}{2}\delta^{ab}$ por cierto.)
Para el segundo término del lagrangiano he visto la igualdad
$\sum_{i, j}^{norte} {\bar{ψ}}_{i} (d_{i j} i \partial_{α} γ^{α} - d_{i j} metro + gramo A_{α}^{a} γ^{α} T_{i j}^{a}) ψ_{j} = \sum_{i, j}^{norte} {\bar{ψ}}_{i} (i D_{i j, α} γ^{α} - d_{i j} metro) ψ_{j},$ $\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} (\delta _{ij}i \partial_{\alpha}\gamma^{\alpha }-\delta _{ij}m+gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij})\psi_{j} =\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} ( i D_{ij, \alpha}\gamma^{\alpha }-\delta _{ij}m)\psi_{j},$ sido utilizado, pero no entiendo cómo esto es cierto a menos que $gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij}=0$ para $i\neq j$ . Estoy muy ansioso por saber por qué se mantiene esta igualdad.

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En el primer punto te equivocas en la condición de normalización que es

Tr (T^{a} T^{b}) = \frac{1}{2} d^{a b}

$\text{Tr}(T^aT^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}$ y no pudo ser

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ ya que estás rastreando los índices

Tr (T^{a} T^{b}) = T_{i j}^{a} T_{j i}^{b}

$\text{Tr}(T^aT^b) =T^a_{ij}T^b_{ji}$ Con esto el primer resultado es trivial.

El segundo punto simplemente proviene de la definición de la derivada covariante $D_\mu = \partial_\mu-igA_\mu^aT^a$ en el que se entienden los índices internos. Si las escribes obtendrás

(D_{m})_{i j} = \partial_{m} d_{i j} - i gramo A_{m}^{a} T_{i j}^{a}

$(D_{\mu})_{ij} =\partial_\mu\delta_{ij}-igA_\mu^aT^a_{ij}$ En realidad

i {\bar{ψ}}_{i} (D_{m})_{i j} γ^{m} ψ_{j} = i {\bar{ψ}}_{i} (\partial_{m} γ^{m} d_{i j} - i gramo A_{m}^{a} γ^{m} T_{i j}^{a}) ψ_{j} = {\bar{ψ}}_{i} d_{i j} i γ^{m} \partial_{m} ψ_{j} + gramo {\bar{ψ}}_{i} γ^{m} A_{m}^{a} T_{i j}^{a} ψ_{j}

$i\bar\psi_i (D_\mu)_{ij}\gamma^\mu\psi_j = i\bar\psi_i\left(\partial_\mu\gamma^\mu\delta_{ij}-igA_\mu^a\gamma^\mu T^a_{ij}\right)\psi_j = \bar\psi_i\delta_{ij}i\gamma^\mu\partial_\mu\psi_j+g\bar\psi_i\gamma^\mu A_\mu^aT^a_{ij}\psi_j$ que es exactamente lo que tienes en la segunda igualdad

¡Gracias! Su primer punto sobre los índices fue en realidad un error tipográfico de mi parte, lo siento, ya se ha corregido. Intentaré hacer uso de tu pista. Para la segunda parte, si los índices se entienden implícitamente, no veo por qué no estarían en el
... función delta y no en la derivada parcial directamente (sin ninguna función delta)? Bueno, entiendo que la derivada parcial no puede tener índices, pero ¿por qué la derivada sería cero para $i \neq j$ ?
La derivada parcial no tiene índices internos, no debería. De la misma manera que el campo de fotones no tiene índices internos. Hay que tener cuidado con los índices: $\mu$ es un indio de Lorentz, $a$ es un índice interno, por ejemplo, un índice de color si la teoría es $SU(3)$ , $i,j$ son índices de espinor. No hay razón para que la derivada parcial tenga índices de espinor ni de color. Sin embargo, la derivada covariante depende de la representación de la teoría y, por lo tanto, tiene índices de espinor, ya que actúa de manera diferente en diferentes componentes del espinor debido a la $T^a_{ij}$ .

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