Spec(k[x])Spec⁡(k[x])\operatorname{Spec}(k[x]) tiene infinitos puntos.

Dejar k ser un campo. tengo que demostrar que Especificaciones ⁡ ( k [ X ] ) tiene infinitos puntos.

Si k es infinito es obvio: de hecho hay infinitos ideales maximales ( X − α i ) , con a i ∈ k . Pero si k es un campo finito, ¿cómo puedo probar mi afirmación? ¿Existe un argumento general como la demostración de la infinitud de los primos de Z ?

Consulte math.stackexchange.com/questions/585201 para obtener una generalización.

Respuestas (2)

Los ideales máximos en k [ X ] son principales, generados por polinomios irreducibles. Luego tienes que probar que hay infinitos polinomios irreducibles (no asociados). Para hacer esto usa el truco de Euclides para probar que hay infinitos números primos.

+1. El truco de Euclides funciona para k [ X ] porque sabemos las unidades de k [ X ] . (No se aplica a un DVR, por ejemplo).

Puedes reducir el caso finito al caso infinito.

Considere el morfismo S pag mi C ( k ¯ [ X ] ) → S pag mi C ( k [ X ] ) . la fibra de ( 0 ) es S pag mi C ( k ¯ ( X ) ) , solo un punto, y la fibra de ( F ) con F ∈ k [ X ] irreducible es S pag mi C ( k ¯ [ X ] / ( F ) ) , que es un conjunto finito. Se sigue que si S pag mi C ( k ¯ [ X ] ) es infinito, lo mismo es cierto para S pag mi C ( k [ X ] ) , y tienen la misma cardinalidad.

En realidad, esta prueba "geométrica" ​​se puede hacer más "algebraica": hay infinitos elementos en k ¯ . Como todo polinomio sobre k tiene un número finito de raíces en k ¯ , también hay infinitos elementos en k ¯ que no son conjugados entre sí (por pares). Por lo tanto, sus polinomios mínimos generan ideales máximos distintos por pares en k [ X ] .

+1 En el presente caso puede ser necesario probar también el hecho conocido de que k ¯ es infinito aunque k es finito Esto se ha hecho, por ejemplo, aquí .
Sí, asumí el hecho trivial de que los campos algebraicamente cerrados son infinitos.
@MartinBrandenburg Pero, ¿qué pasa si uso el mismo método si el campo es finito? ¿Por qué tengo que pasar a k ¯ [ X ] ?
Spec(k[x])Spec⁡(k[x])\operatorname{Spec}(k[x]) tiene infinitos puntos.
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