¿Hay algún libro que enseñe álgebra conmutativa y teoría algebraica de números al mismo tiempo? Muchos libros de álgebra conmutativa contienen pocos capítulos sobre teoría algebraica de números al final. Pero no necesito eso. Estoy buscando un libro que motive el álgebra conmutativa utilizando la teoría algebraica de números. Mi objetivo principal es aprender la teoría algebraica de números, pero mientras lo hago, también quiero adquirir suficiente álgebra conmutativa para tratar con la geometría algebraica.
Estoy de acuerdo con la respuesta de David Loeffler: hay un gran segmento inicial de teoría algebraica de números que esencialmente coincide con el estudio de los dominios de Dedekind. Un estudio cuidadoso de los dominios de Dedekind brinda una introducción a varios temas importantes del álgebra conmutativa: por ejemplo, localización, cierre integral, valoraciones discretas, ideales fraccionarios y el grupo de clase ideal.
Entonces, se puede motivar gran parte del álgebra conmutativa básica usando conceptos de la teoría algebraica de números, pero también falta mucho, por ejemplo:
Teoría del módulo. Los módulos sobre un dominio Dedekind son "demasiado agradables" en comparación con los módulos sobre un anillo conmutativo arbitrario. Por ejemplo, inyectivo = divisible y plano = sin torsión.
El espectro. La familia de ideales primos en un dominio de Dedekind es no representativamente simple: todos los distintos de cero son máximos. Esta no es una buena motivación para dedicar tiempo a comprender la estructura teórica del orden o la topología de Zariski en .
Teoría de la dimensión.
Descomposición primaria. Uno puede ver la descomposición primaria en un anillo de Noether como una generalización de la factorización de ideales en productos de números primos en un dominio de Dedekind, pero una vez más, la primera es significativamente más complicada que la segunda.
La Nullstellensatz.
Más bien, si estudia teoría algebraica de números y geometría algebraica más o menos al mismo tiempo, verá que mucho de lo que está haciendo es álgebra conmutativa y que el álgebra estará bien motivada. Entre los textos razonablemente introductorios, conozco exactamente uno que lo lleva bien: este texto de mi colega Dino Lorenzini.
(Dado que se han mencionado mis propias notas de álgebra conmutativa, permítanme decir que considero que estas notas están aproximadamente al nivel de un estudiante que ha tenido un primer curso, relativamente no técnico, en teoría algebraica de números, por ejemplo, del texto de Marcus : - o geometría algebraica, por ejemplo, del texto de Shafarevich, y se le ha dicho que necesita aprender algo de álgebra conmutativa antes de continuar. Por otro lado, mis notas se basan más explícitamente en ejemplos de topología y geometría que de cualquiera de los mencionados anteriormente. áreas.)
¡No hay ninguna ley que prohíba leer más de un libro a la vez!
Aunque la teoría algebraica de números y la geometría algebraica utilizan mucho el álgebra conmutativa, el álgebra necesaria para la geometría tiene un alcance bastante más amplio (para la teoría algebraica de números es necesario saber mucho sobre los dominios de Dedekind, pero el álgebra conmutativa utiliza una clase mucho más amplia de anillos). Así que no creo que puedas esperar que haya un libro de texto sobre teoría de números que también te enseñe todo el álgebra que necesitas para la geometría algebraica.
Georges Elencwajg
charles boyd