Ejercicio 1.8 de Hartshorne

(Harshorne 1.8) Sea$Y$ser una variedad afín de dimensión$r$en$\mathbf A^n$. Dejar$H$ser una hipersuperficie en$\mathbf A^n$, y supongamos que$Y \nsubseteq H$. Entonces cada componente irreducible de$Y \cap H$tiene dimensión$r-1$.

Si tengo otra variedad afín$X$con dimensión$k$con$X \nsubseteq H$. Asumir$k < r$. Entonces$Z = X \cup Y$tiene dimensión$r$. Dejar$W$ser un componente irreducible de$Z \cap H$, entonces por arriba,$W$tiene dimensión$r-1$.

Pero que si$W$está estrictamente contenida en$X$, entonces no debería$W$tener dimensión$k-1$¿en cambio? Entonces, ¿qué salió mal?