Ejercicio 1.81.81.8 del capítulo uno en Hartshorne.

Question

Ejercicio 1.81.81.8 del capítulo uno en Hartshorne.

Matemáticas
geometría-algebraica
álgebra conmutativa

jeong

En el ejercicio 1.8 del capítulo I de geometría algebraica de Hartshorne,

Dejar $Y$ ser una variedad afín de dimensión $r$ en $\mathbf A^n$ . Dejar $H$ ser una hipersuperficie en $\mathbf A^n$ , y supongamos que $Y \nsubseteq H$ . Entonces cada componente irreducible de $Y \cap H$ tiene dimensión $r-1$ .

Me referí a una solución . En esta solución, ¿por qué $f$ no es una unidad en $B$ ?

Ulular

Bien podría ser una unidad si los dos no se encuentran, por ejemplo,

n = 1

$n = 1$ ,

Y = Z (x)

$Y = Z(x)$ ,

f = x - 1

$f = x - 1$ . Probablemente esté asumiendo que los dos se encuentran para que haya algo que probar; si ganas una medalla Fields, creo que puedes ser un poco incompleto aquí.

usuario26857

@Hoot Mi comentario debajo de la respuesta señala muy claramente qué condición necesitamos para obtener un elemento invertible.

Ulular

@ usuario26857 Sí, definitivamente; No había leído los comentarios a la respuesta de Ayman, debo admitirlo. Solo quería señalar que esto es muy fácil de verificar para el OP.

Ricardo

Algunos de ustedes entendieron por qué la afirmación es verdadera si la intersección

Y \cap H = \emptyset

$Y\cap H=\emptyset$ ? Leí en alguna parte que la dimensión del conjunto vacío es

- 1

$-1$ por definición. ¿Es verdad? ¿Cómo implica la tesis? Estoy considerando solo la teoría básica (ya que este ejercicio está en la página 8)

jacopo lanzoni

¿Responde esto a tu pregunta? Sobre un ejercicio de la geometría algebraica de Hartshorne

Respuestas (1)

Ejercicio 1.81.81.8 del capítulo uno en Hartshorne.

Bien podría ser una unidad si los dos no se encuentran, por ejemplo, $n = 1$ , $Y = Z(x)$ , $f = x - 1$ . Probablemente esté asumiendo que los dos se encuentran para que haya algo que probar; si ganas una medalla Fields, creo que puedes ser un poco incompleto aquí.
@Hoot Mi comentario debajo de la respuesta señala muy claramente qué condición necesitamos para obtener un elemento invertible.
@ usuario26857 Sí, definitivamente; No había leído los comentarios a la respuesta de Ayman, debo admitirlo. Solo quería señalar que esto es muy fácil de verificar para el OP.
Algunos de ustedes entendieron por qué la afirmación es verdadera si la intersección $Y\cap H=\emptyset$ ? Leí en alguna parte que la dimensión del conjunto vacío es $-1$ por definición. ¿Es verdad? ¿Cómo implica la tesis? Estoy considerando solo la teoría básica (ya que este ejercicio está en la página 8)
¿Responde esto a tu pregunta? Sobre un ejercicio de la geometría algebraica de Hartshorne

Ayman Hourieh · Answer 1

Dejar $H = Z(f)$ dónde $f$ es irreductible. Dejar $Y = Z(\mathfrak a)$ dónde $\mathfrak a$ es un ideal primo. Dejar $\overline f$ ser la imagen de $f$ en el dominio integral $B = A / \mathfrak a$ . Cada componente irreducible de $Y \cap H$ corresponde a un ideal primo mínimo de $B$ eso contiene $\overline f$ . Si $\overline f$ es una unidad, no existe tal ideal primo. De este modo $Y \cap H = \varnothing$ y la afirmación dada es vagamente verdadera.

parece que al final $f$ no es módulo invertible $\mathfrak a$ sigue desde $Y\cap H\ne\emptyset$ , no de $Y\nsubseteq H$ que da solo $f\ne0$ módulo $\mathfrak a$ .
@ usuario26857 De hecho. Lo que queda ahora es una aplicación sencilla de Hauptidealsatz de Krull.
Perdón, ¿por qué si la intersección está vacía, la declaración es verdadera?
¿Puede elaborar esta respuesta y demostrar que si $W$ es un componente irreducible de $Y \cap H$ , entonces $I(W)$ es mínimo entre todos los ideales principales de $B$ que contienen $\overline f$ ? Esta es la parte con la que tengo problemas.
@Richard Si su intersección está vacía, entonces, por Nullstellensatz, el ideal que se desvanece es todo el anillo $k[x_1, ..., x_n]$ . Así que no hay nada contradictorio en $f$ ser una unidad aquí.

Ejercicio 1.81.81.8 del capítulo uno en Hartshorne.

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Ejercicio 1.8 de Hartshorne

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