Si (X,OX)(X,OX)(X, \mathcal O_X) es un esquema, ¿cuál es OX(U)OX(U)\mathcal O_X(U) donde UUU es cualquier subconjunto abierto (no necesariamente abierto afín) ?

Question

Si (X,OX)(X,OX)(X, \mathcal O_X) es un esquema, ¿cuál es OX(U)OX(U)\mathcal O_X(U) donde UUU es cualquier subconjunto abierto (no necesariamente abierto afín) ?

esquemas
definición
Matemáticas
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geometría-algebraica
álgebra conmutativa

usuario46372819

Si $(X, \mathcal O_X)$ es un esquema, lo que es $\mathcal O_X(U)$ dónde $U$ ¿hay algún subconjunto abierto (no necesariamente afín abierto)?

A continuación se muestra lo que sé actualmente.

Dejar $A$ cojinete.

Hartshorne define la estructura haz en $\operatorname{Spec}(A)$ como:

Para un subconjunto abierto $U \subset \operatorname{Spec}(A)$ , definimos $\mathcal O(U)$ ser el conjunto de funciones $s: U \to \coprod_{\mathfrak p \in U} A_{\mathfrak p}$ , tal que:
i.) $s(\mathfrak p) \in A_{\mathfrak p}$
ii.) para cada $\mathfrak{p} \in U$ , hay un barrio $V$ de $\mathfrak p$ , contenida en $U$ y elementos $a, f \in A$ tal que para cada $\mathfrak q \in V$ , tenemos $f \notin \mathfrak q$ y $s(\mathfrak q) = a/f \in A_{\mathfrak q}$ .

Vakil primero define un haz de anillos en la base distinguida $D(f) \subset \operatorname{Spec}(A)$ :

Definir $\mathcal O_{\operatorname{Spec} A}(D(f))$ ser la localización de $A$ en el multiplicativo $\{g \in A \mid D(f) \subset D(g)\}$ .

Un ejercicio muestra que $\mathcal O_{\operatorname{Spec} A}(D(f)) \cong A_f$ , y que el tallo de en un punto $\mathfrak p$ es $A_\mathfrak p$ .

Como tenemos una gavilla sobre una base, podemos extender esto a todos los abiertos $U \subset \operatorname{Spec} A$

Definir $\mathcal O_{\operatorname{Spec} A}(U)$ ser el conjunto de todos $(s_{\mathfrak p})_{\mathfrak p \in U} \in \prod_{\mathfrak p \in U} A_\mathfrak p$ tal que
yo.) $s_\mathfrak p \in A_{\mathfrak p}$
ii.) para cada $\mathfrak{p} \in U$ , hay un barrio $D(f)$ de $\mathfrak p$ , contenida en $U$ , y un elemento $a \in A$ tal que para cada $\mathfrak q \in D(f)$ , tenemos $s_\mathfrak q = a/f^n \in A_{\mathfrak q}$ .

Puedo ver cómo se relacionan las dos definiciones: dada una función $s \in \mathcal O(U)$ como en Hartshorne, obtenemos $(s(\mathfrak p))_{\mathfrak p \in U} \in \prod_{\mathfrak p \in U} A_\mathfrak p$ como en Vakil. Lo contrario es similar.

Ambos autores definen:

Un esquema $(X,\mathcal O_X)$ es un espacio anillado tal que cualquier punto de $X$ tiene un barrio abierto $U$ tal que $(U, \mathcal O_X|_U)$ es isomorfo a un esquema afín.

Estoy confundido acerca de las funciones en un esquema. $(X,\mathcal O_X)$ .

Parece que Hartshorne está definiendo explícitamente qué funciones en un esquema afín deberían estar en su definición, pero no qué funciones en un esquema arbitrario deberían estar. ¿Por qué?

Vakil escribe: Funciones en un subconjunto abierto $U$ de un espacio localmente anillado tienen valores en cada punto de $U$ . El valor en $p\in X$ de tal función radica en $\mathcal O_{X,p}/ \mathfrak m_p$ dónde $\mathfrak m_p$ es el ideal máximo de $\mathcal O_{X,p}$ .

Nicolás Bourbaki

Es suficiente definir la estructura del haz sobre una base topológica. Siempre que pueda definir qué

O_{X} (.)

$\mathcal{O}_X(.)$ está haciendo sobre una base topológica, luego lo extiende a un conjunto abierto arbitrario usando un límite proyectivo

KReiser

Más explícitamente, dado un subconjunto abierto arbitrario

U

$U$ , podemos cubrirlo con aperturas afines

{U_{i}}_{i \in I}

$\{U_i\}_{i\in I}$ y cubrir las intersecciones

U_{i} \cap U_{j}

$U_i\cap U_j$ por afín abre

{U_{i j k}}_{k \in K_{i j}}

$\{U_{ijk}\}_{k\in K_{ij}}$ ; la condición de la gavilla entonces da que

O_{X} (U)

$\mathcal{O}_X(U)$ es el ecualizador de

\prod_{i \in I} O_{X} (U_{i}) ⇉ \prod_{i, j \in I, k \in K_{i j}} O_{X} (U_{i j k})

$\prod_{i\in I}\mathcal{O}_X(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j\in I, k\in K_{ij}} \mathcal{O}_X(U_{ijk})$ .

usuario46372819

Dado que Vakil escribe que el valor de

p \in X

$p \in X$ se encuentra en

O_{X, p} / m_{p}

$\mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ , ¿es incorrecto decir una función en un subconjunto abierto?

U

$U$ es una funcion

U \to \underset{p \in U}{∐} O_{X, p} / m_{p}

$U \to \coprod_{p \in U} \mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ ?

KReiser

Depende de lo que entiendas por "es". Ciertamente es correcto que un elemento de

O_{X} (U)

$\mathcal{O}_X(U)$ da una función

U \to \underset{p \in U}{∐} κ (p)

$U\to \coprod_{p\in U} \kappa(p)$ , pero no es cierto que tal función especifica de forma única un elemento de

O_{X} (U)

$\mathcal{O}_X(U)$ . Puede que no especifique un elemento de

O_{X} (U)

$\mathcal{O}_X(U)$ (existen condiciones de compatibilidad) y puede que no lo haga de forma única (si

X

$X$ es no reducido, por ejemplo).

usuario46372819

@KReiser Ya veo. ¿Qué tal si imponemos algunas condiciones como i y ii arriba? La razón por la que estoy considerando esto es porque, en general, si

F

$\mathscr F$ es una gavilla en un espacio

X

$X$ , entonces para cualquier abierto

U \subset X

$U\subset X$ , el mapa natural

F (U) ↪ \prod_{x \in U} F_{x}

$\mathscr F (U)\hookrightarrow \prod_{x \in U} \mathscr F_x$ es inyectable.

usuario46372819

Tal vez debería haber escrito

U \to \prod_{p \in U} O_{X, p} / m_{p}

$U \to \prod_{p \in U} \mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ en mi primer comentario arriba?

KReiser

Para poleas, es cierto que el mapa natural

F (U) \to \prod_{x \in U} F_{x}

$\mathcal{F}(U)\to\prod_{x\in U} \mathcal{F}_x$ es inyectivo, pero eso no es lo que has preguntado, estás preguntando sobre

O_{X} (U) \to \prod_{x \in U} O_{X, x} / m_{x}

$\mathcal{O}_X(U) \to \prod_{x\in U} \mathcal{O}_{X,x}/m_x$ , no

O_{X} (U) \to \prod_{x \in U} O_{X, x}

$\mathcal{O}_X(U) \to \prod_{x\in U} \mathcal{O}_{X,x}$ . Considerar

Spec k [e] / (e^{2})

$\operatorname{Spec} k[e]/(e^2)$ , por ejemplo - la primera opción da

k [e] / (e^{2}) \to k

$k[e]/(e^2)\to k$ modificando

e

$e$ , mientras que el segundo da

k [e] / (e^{2}) \to k [e] / (e^{2})

$k[e]/(e^2)\to k[e]/(e^2)$ por la identidad.

usuario46372819

@KReiser Está bien. No estoy muy seguro de lo que estoy haciendo. Solo trato de entender qué es exactamente

O_{X} (U)

$\mathcal O_X(U)$ en el caso

U

$U$ no es afín, y lo que significa ser una función en

U

$U$ . Pensé que tendría una descripción fácil y explícita que me faltaba.

KReiser

No creo que sea muy importante saber qué

O_{X} (U)

$\mathcal{O}_X(U)$ es la mayor parte del tiempo. Es suficiente conocer un par de estrategias para calcularlo cuando lo necesite: el diagrama de ecualizador anterior y la intersección de tallos en un esquema integral son probablemente las herramientas más aplicables. En cuanto a qué función en

U

$U$ es, encuentro útil pensar que es un morfismo de

U

$U$ a

A^{1}

$\Bbb A^1$ , al igual que las funciones sobre variedades son morfismos para

R

$\Bbb R$ .

usuario46372819

@KReiser Eso realmente tiene sentido ya que

κ (x)

$\kappa(x)$ es un campo Entonces, podemos interpretar una función en

U

$U$ como un morfismo de

U

$U$ a

A_{κ (x)}^{1}

$\mathbb A^1_{\kappa(x)}$ .

usuario46372819

@KReiser ¿Cómo es que una función en

U \subset Spec A

$U \subset \operatorname{Spec} A$ se define como una función que toma

p \in U

$\mathfrak p \in U$ a un elemento en

A_{p}

$A_\mathfrak p$ y no a un elemento en

A_{p} / p A_{p}

$A_p/\mathfrak{p} A_\mathfrak p$ ?

KReiser

Continuemos esta discusión en el chat .

Respuestas (1)

Si (X,OX)(X,OX)(X, \mathcal O_X) es un esquema, ¿cuál es OX(U)OX(U)\mathcal O_X(U) donde UUU es cualquier subconjunto abierto (no necesariamente abierto afín) ?

Es suficiente definir la estructura del haz sobre una base topológica. Siempre que pueda definir qué $\mathcal{O}_X(.)$ está haciendo sobre una base topológica, luego lo extiende a un conjunto abierto arbitrario usando un límite proyectivo
Más explícitamente, dado un subconjunto abierto arbitrario $U$ , podemos cubrirlo con aperturas afines $\{U_i\}_{i\in I}$ y cubrir las intersecciones $U_i\cap U_j$ por afín abre $\{U_{ijk}\}_{k\in K_{ij}}$ ; la condición de la gavilla entonces da que $\mathcal{O}_X(U)$ es el ecualizador de $\prod_{i\in I}\mathcal{O}_X(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j\in I, k\in K_{ij}} \mathcal{O}_X(U_{ijk})$ .
Dado que Vakil escribe que el valor de $p \in X$ se encuentra en $\mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ , ¿es incorrecto decir una función en un subconjunto abierto? $U$ es una funcion $U \to \coprod_{p \in U} \mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ ?
Depende de lo que entiendas por "es". Ciertamente es correcto que un elemento de $\mathcal{O}_X(U)$ da una función $U\to \coprod_{p\in U} \kappa(p)$ , pero no es cierto que tal función especifica de forma única un elemento de $\mathcal{O}_X(U)$ . Puede que no especifique un elemento de $\mathcal{O}_X(U)$ (existen condiciones de compatibilidad) y puede que no lo haga de forma única (si $X$ es no reducido, por ejemplo).
@KReiser Ya veo. ¿Qué tal si imponemos algunas condiciones como i y ii arriba? La razón por la que estoy considerando esto es porque, en general, si $\mathscr F$ es una gavilla en un espacio $X$ , entonces para cualquier abierto $U\subset X$ , el mapa natural $\mathscr F (U)\hookrightarrow \prod_{x \in U} \mathscr F_x$ es inyectable.
Tal vez debería haber escrito $U \to \prod_{p \in U} \mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_p$ en mi primer comentario arriba?
Para poleas, es cierto que el mapa natural $\mathcal{F}(U)\to\prod_{x\in U} \mathcal{F}_x$ es inyectivo, pero eso no es lo que has preguntado, estás preguntando sobre $\mathcal{O}_X(U) \to \prod_{x\in U} \mathcal{O}_{X,x}/m_x$ , no $\mathcal{O}_X(U) \to \prod_{x\in U} \mathcal{O}_{X,x}$ . Considerar $\operatorname{Spec} k[e]/(e^2)$ , por ejemplo - la primera opción da $k[e]/(e^2)\to k$ modificando $e$ , mientras que el segundo da $k[e]/(e^2)\to k[e]/(e^2)$ por la identidad.
@KReiser Está bien. No estoy muy seguro de lo que estoy haciendo. Solo trato de entender qué es exactamente $\mathcal O_X(U)$ en el caso $U$ no es afín, y lo que significa ser una función en $U$ . Pensé que tendría una descripción fácil y explícita que me faltaba.
No creo que sea muy importante saber qué $\mathcal{O}_X(U)$ es la mayor parte del tiempo. Es suficiente conocer un par de estrategias para calcularlo cuando lo necesite: el diagrama de ecualizador anterior y la intersección de tallos en un esquema integral son probablemente las herramientas más aplicables. En cuanto a qué función en $U$ es, encuentro útil pensar que es un morfismo de $U$ a $\Bbb A^1$ , al igual que las funciones sobre variedades son morfismos para $\Bbb R$ .
@KReiser Eso realmente tiene sentido ya que $\kappa(x)$ es un campo Entonces, podemos interpretar una función en $U$ como un morfismo de $U$ a $\mathbb A^1_{\kappa(x)}$ .
@KReiser ¿Cómo es que una función en $U \subset \operatorname{Spec} A$ se define como una función que toma $\mathfrak p \in U$ a un elemento en $A_\mathfrak p$ y no a un elemento en $A_p/\mathfrak{p} A_\mathfrak p$ ?

hm2020 · Answer 1

Pregunta: Estoy confundido acerca de las funciones en un esquema $(X,O_X)$ . Parece que Hartshorne está definiendo explícitamente qué funciones en un esquema afín deberían estar en su definición, pero no qué funciones en un esquema arbitrario deberían estar. ¿Por qué?"

Respuesta: Hay muchas discusiones en este sitio y en el sitio de MO sobre la estructura de un esquema y la relación con "gavillas de funciones", variedades algebraicas reales, etc. Aquí encontrará información:

Funciones racionales regulares sobre rectas proyectivas reales y espacios proyectivos.

https://mathoverflow.net/questions/377922/construyendo-geometría-algebraica-sin-principales-ideales/378961#378961

Pregunta: "Vakil escribe: Funciones en un subconjunto abierto $U$ de un espacio localmente anillado tienen valores en cada punto de $U$ . El valor en $p∈X$ de tal función radica en $O_{X,p}/m_p$ dónde $m_p$ es el ideal máximo de $O_{X,p}$ ."

Respuesta: Localmente si $U:=Spec(A)$ , una sección $s\in \mathcal{O}_U(U)\cong A$ es un elemento en el anillo $A$ , y dado cualquier ideal primo $\mathfrak{m}\in A$ obtienes un "mapa de evaluación" canónico

mi v : A \to A_{metro} / metro A_{metro} := k (metro)

$ev: A \rightarrow A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}} :=\kappa(\mathfrak{m})$

y $ev(s)$ es el "valor" de la sección $s$ en el punto $\mathfrak{m}$ . Esto es "poco intuitivo" ya que el campo de residuos $\kappa(\mathfrak{m})$ cambia con el ideal primo $\mathfrak{m}$ , por eso $s$ no es una función en el sentido clásico. Sin embargo, hay una forma de construir para cualquier anillo de Hilbert-Jacobson (esquema) $A$ un espacio topológico anillado $Max(A)$ donde solo consideras ideales máximos en $A$ . Dichos espacios son "más intuitivos". Una de las razones para la introducción de ideales primos para "esquemas" es incluir elementos nilpotentes en geometría, y con la construcción anterior de $Max(A)$ obtienes un espacio localmente anillado con elementos nilpotentes en el haz de estructura. En los enlaces anteriores encontrará una discusión sobre esto.

Ejemplo: Aquí:

Paquete canónico y gavilla rascacielos

Doy un ejemplo para ilustrar que una sección $s$ de la estructura del haz de $S:=Spec(\mathbb{R}[x])$ no da una función en el sentido clásico. Esto se debe a que los puntos (no genéricos) en $S$ tener campo de residuos $k:=\mathbb{R}$ o $K:=\mathbb{C}$ . Cuando un punto tiene campo residual $k$ obtienes una función bien definida $s:S(k) \rightarrow k$ . Cuando el campo de residuos es $K$ tienes que hacer una elección. En el caso de $S$ es posible hacer una elección tan consistente.

Para una variedad diferenciable real $M$ y un subconjunto abierto $U\subseteq M$ si tu dejas $\mathcal{O}(U)$ sea el conjunto de funciones de valor real diferenciables $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ obtienes un montón de funciones $\mathcal{O}$ en $M$ y la pareja $(M, \mathcal{O})$ es un espacio localmente anillado. En Hartshorne define para cualquier anillo unital conmutativo $A$ un espacio anillado localmente $(X, \mathcal{O}_X)$ dónde $X:=Spec(A)$ es el conjunto de ideales primos en $A$ con la topología de Zariski. Una sección $s \in \mathcal{O}_X(U)$ no es una función en el sentido clásico: no hay campo $K$ con la propiedad de que puedes interpretar el anillo $\mathcal{O}_X(U)$ como un "conjunto de mapas" $s: U \rightarrow K$ con multiplicación y suma inducidas desde el uno en $K$ .

Todavía no estoy a la altura de los esquemas proyectivos. Parece que no hay una respuesta canónica a lo que son funciones en $U$ excepto que toman un punto $x \in U$ a $\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x$ ?
Todavía no veo por qué Hartshorne define explícitamente qué funciones deberían ser en un esquema afín, pero no qué funciones deberían ser en un esquema arbitrario.

Si (X,OX)(X,OX)(X, \mathcal O_X) es un esquema, ¿cuál es OX(U)OX(U)\mathcal O_X(U) donde UUU es cualquier subconjunto abierto (no necesariamente abierto afín) ?

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Nicolás Bourbaki

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hm2020

usuario46372819

usuario46372819

Espacio anillado pero no localmente anillado

Núcleo del mapa inducido ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′\bar\phi:\Omega_{S/R}\to\Omega_{S'/R '}

Si una función se anula en todos los puntos de un esquema cuasicompacto, entonces alguna de sus potencias es cero

Pregunta 2.20 W. Fulton

Conjunto de puntos donde el tallo es integral, el dominio está abierto.

¿Qué quiere decir Aluffi con 'conjunto puntiagudo' en el libro Álgebra: Capítulo 0?

Dado un diagrama conmutativo, demuestre que δδ\delta es isomorfismo

¿Cómo construir tal esquema?

¿Por qué es necesaria la asociatividad para los grupos?

Ejercicio 1.8 de Hartshorne