Lema de la libertad genérica de Grothendieck: prueba paso a paso de la FOAG de Vakil

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio (7.4.K) del FOAG de Vakil, que es un paso en la prueba del lema de la libertad genérica de Grothendieck:

Aquí está mi intento:

Procedemos por inducción sobre$n$para construir los isomorfismos compatibles$\phi_n$como en el ejercicio. tenemos una secuencia exacta

$$0\to M_{n-1}\to M_n\to M_n/M_{n-1}\to 0$$ Desde$M_n/M_{n-1}$es libre por suposición, es proyectivo y, por lo tanto, la secuencia exacta anterior se divide. como resultado tenemos$M_n\cong M_{n-1}\oplus M_{n}/M_{n-1}$y una derecha inversa a la proyección$M_n\to M_n/M_{n-1}$. Llama a este mapa$\psi_n$. A continuación, defina$\phi_n$ser$\phi_{n-1}$en$M_{n-1}\cong\bigoplus_{i=1}^{i= n-1} M_i/M_{i-1}$y$\psi_n$en$M_{n}/M_{n-1}$y se extiende linealmente. Como resultado vemos que los mapas$\phi_n$son compatibles en el sentido de que el diagrama

conmuta

Tomamos colimits para obtener un mapa único$\bigoplus_{i\in \mathbb{N}} M_i/M_{i-1}\to M$. De manera similar, obtenemos un mapa único en la dirección opuesta, trabajando con los inversos de la$\phi_n$'s. Combinando estos, vemos que$\bigoplus M_i/M_{i-1}\cong M$, de donde se sigue que$M$en sí es gratis.

Estaría muy agradecido si alguien pudiera verificar si lo que dije tiene sentido, o señalar dónde me equivoqué.

Gracias.