Demostrar que el mapa Spec inducido es continuo usando los conjuntos abiertos elementales

Recientemente tuve un montón de preguntas sobre un conjunto de problemas que no pude resolver y el instructor no proporciona soluciones.

Dejar F : A → B sea ​​un homomorfismo de anillos. Demostrar que el mapa inducido gramo : Especificaciones  B → Especificaciones  A es continua usando solo conjuntos abiertos elementales.

Puedo probar la continuidad del mapa usando el criterio de conjuntos cerrados, pero estaba restringido a usar solo los conjuntos abiertos elementales. La pregunta se hizo para mostrar que las preimágenes de los conjuntos abiertos elementales están abiertos y, obviamente, esto prueba la continuidad del mapa, ya que estos conjuntos forman la base de la topología de Zariski. ¿Alguien puede darme una explicación detallada?

Pista: Deja q = F − 1 ( pag ) ser algún ideal primo que no contenga X . Entonces claramente pag no contiene F ( X ) . Además, también se cumple lo contrario.
Díganos qué quiere decir con un conjunto abierto elemental de Especificaciones  A ?
Un conjunto abierto elemental de Spec A es D(f), el conjunto de todos los ideales primos de A que no contienen f. Aquí f es un elemento del anillo A.
F por un elemento de A parece confuso porque ya hemos usado el símbolo F aquí.
¡Él, te cambiaste el nombre!

Respuestas (1)

No sé nada sobre geometría algebraica, así que a partir de las definiciones:

Así que considera lo que gramo − 1 [ D ( a ) ] es: es el conjunto de ideales primos I en B tal que gramo ( I ) ∈ D ( a ) . gramo ( I ) = F − 1 [ I ] por la definición del mapa inducido (creo que es la única definición que tendría sentido), por lo que consideramos todos los ideales primos I tal que a ∉ F − 1 [ I ] (definicion de F − 1 [ I ] estar en D ( a ) ) lo que significa a su vez exactamente que F ( a ) ∉ I . Así que me parece que hemos demostrado que

gramo − 1 [ D ( F ) ] = D ( F ( a ) )
que sería elemental abierto en Especificaciones  B . Parece algo que podrías haber descubierto tú mismo, al menos para mí.

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