Núcleo del mapa inducido ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′\bar\phi:\Omega_{S/R}\to\Omega_{S'/R '}

Tengo el mismo problema que el OP en este hilo , sin embargo, también busco una prueba más simple de un hecho. Lemma 10.130.6 de este sitio de Stacks Project hace un reclamo demasiado rápido para mí.

Considere el siguiente diagrama:

Ω S / R → ϕ ¯ Ω S ′ / R ′ ↑ d S / R ↑ d S ′ / R ′ S → ϕ S ′ ↑ α ↑ β R → ψ R ′

donde se da el cuadrado inferior y se induce el superior. Construcciones de proyectos de pilas ϕ ¯ directamente, pero uno puede hacerlo fácilmente usando la propiedad universal de ( Ω S / R , d S / R ) . Luego entra el lema mencionado:

Lema (130.6): Supongamos que ϕ : S ⟶ S ′ es sobreyectiva y escribimos I por su núcleo. Entonces el mapa Ω S / R ⟶ Ω S ′ / R ′ es sobreyectiva y su núcleo se genera como un S -módulo por elementos de la forma d s dónde s ∈ S tal que ϕ ( s ) = β ( r ′ ) para algunos r ′ ∈ R ′ .

La sobreyectividad se deriva de la naturaleza funcional de la asignación. ϕ ↦ ϕ ¯ . La parte difícil es la forma explícita de la ker ⁡ ϕ ¯ . Todo se reduce a la siguiente afirmación hecha en la demostración del lema anterior:

Reclamo: "Los siguientes elementos generan el núcleo como un S -módulo seguro: i d a , i ∈ I , a ∈ S , y d a , con a ∈ S tal que ϕ ( a ) = β ( r ′ ) para algunos r ′ ∈ R ′ . "

Entonces dice que

(1) ker ⁡ ϕ ¯ = Lin S ⁡ { i d s , d a : i ∈ I , s ∈ S , ϕ ( a ) ∈ Soy ⁡ β }
y el argumento es tal que tenemos que perseguir el diagrama que está arriba del Lema (130.6) en este sitio ya mencionado.

Primero, no me siento cómodo persiguiendo tales diagramas hechos de tantos módulos gratuitos. Pero en segundo lugar, creo que debería ser posible probar la afirmación utilizando solo el diagrama escrito anteriormente y la propiedad universal de los diferenciales de Kahler. Mi sensación se basa en el hecho de que existen otros modelos para los diferenciales de Kahler y para ellos el Lema también debería cumplirse.

Pregunta ¿Hay una prueba de la igualdad? ( 1 ) que usa solo el diagrama escrito arriba y la propiedad universal de los diferenciales de Kahler?

Respuestas (1)

Probablemente no. La propiedad universal de los diferenciales de Kahler dice que dada una R -derivación lineal ψ desde un R -álgebra S a una R -módulo METRO , esto factores primero como la derivación universal d : S → Ω S / R seguido de un mapa Ω S / R → METRO . Las únicas derivaciones en el diagrama que interactúan con Ω S / R o Ω S ′ / R ′ son d S / R , d S ′ / R ′ , y d S ′ / R ′ ∘ ϕ . Pero aplicar la propiedad universal a cada uno de estos solo nos devuelve los mapas que están en el diagrama.

Te imploro que le des otra oportunidad a la persecución del diagrama. Todo lo que dice (a través de 10.130.5) es que F d gramo ∈ Ω S / R se asigna a ϕ ( F ) d ϕ ( gramo ) en Ω S ′ / R ′ , de lo que se deduce que o bien ϕ ( F ) o ϕ ( gramo ) debe ser cero para F d gramo estar en el núcleo.

me puedes explicar la fraseR-linear derivation ψ en tu respuesta? No pude captar su significado.
Núcleo del mapa inducido ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′ϕ¯:ΩS/R→ΩS′/R′\bar\phi:\Omega_{S/R}\to\Omega_{S'/R '}
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