Si una función se anula en todos los puntos de un esquema cuasicompacto, entonces alguna de sus potencias es cero

Diciendo que$f$desaparece en todos los puntos de$X$significa que$f\in\mathcal{O}_X(X)$y por cada$x\in X$, la imagen de$f$bajo el homomorfismo compuesto

$$\mathcal{O}_X(X)\to \mathcal{O}_{X,x} \to \kappa(x)$$ es cero

Para resolver realmente el problema, cubra$X$por un número finito de aperturas afines$\operatorname{Spec} A_i$y deja$f_i$denota la imagen de$f$en$A_i$bajo el mapeo de restricción$\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X(\operatorname{Spec} A_i)=A_i$. Entonces, si podemos demostrar que hay algo$n$de modo que$f_i^n=0$para todos$i$, lo sabremos$f^n=0$por la condición de la gavilla.

Investiguemos la condición de que$f$se desvanece en todos los puntos y cómo eso afecta el$f_i$. Desde$f_i$desaparece en todos los puntos de$\operatorname{Spec} A_i$(porque es la restricción de$f$que se desvanece en todos los puntos de$X$), tenemos eso$f_i$pertenece a todo ideal primo en$A_i$, como has notado. Pero la intersección de todos los ideales primos de un anillo es exactamente el radical nil, y por lo tanto$f_i^{m_i}=0$para algunos$m_i$.

Dado que tenemos un número finito de aperturas afines, podemos establecer$n=\max_i m_i$y luego$f^n=0$, y esto termina el problema como afirmamos anteriormente.

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La finitud de la cubierta fue clave. Si no tenemos una cubierta finita, podría darse el caso de que a medida que avanzamos en la cubierta, sigamos encontrando que necesitamos más y más grandes$m_i$para que no haya $n$que funciona Este es el punto del contraejemplo: la sección global de$\coprod_{m\in\Bbb N} \operatorname{Spec} k[\varepsilon]/\varepsilon^m$cual es$(\varepsilon,\varepsilon,\cdots)$no tiene soltera$n$que funciona: si elige cualquier prospecto$n$, acaba de llegar$\operatorname{Spec} k[\varepsilon]/\varepsilon^{n+1}$y ver que el$n^{th}$El poder de nuestra sección global no es cero en ese ring.