Pregunta 2.20 W. Fulton

Solo copié y pegué esto de mis propias notas personales sobre geometría algebraica.

$xw-yz=0$entonces$\varphi=\frac{x}{y}=\frac{z}{w}$en$k(V)$y$f$se define en todos los puntos tal que$y$o$z$no es cero Probemos primero que el dominio de definición de$\varphi$es$\{y\neq 0\}\cup \{w \neq 0\}$.

Asumir que$\varphi=\frac{a}{b}$entonces

Ahora mostremos que esta función racional no puede ser definida por una sola expresión racional. Así que de nuevo supongamos que$\varphi=\frac{a}{b}$y además que$b=0\Rightarrow y=0\wedge w=0$derivamos una contradicción. La implicación significa que

o usando el Nullstellensatz,

desde$y,w \in \sqrt{(y,w)}$tenemos$y,w \in \sqrt{(b)}$y entonces$b|y^m$anuncio$b|w^m$pero esto implica que$b$es una constante y por lo tanto que$\varphi$está definida en todas partes, lo cual no es el caso.

Aquí hay otra solución que:

• Evita el uso de argumentos topológicos para completar el conjunto de polos (como solicitó el OP, ya que no se supone que el campo base sea$\mathbb{C}$).
• No usa el Nullstellensatz, y aclara cierta confusión que tengo sobre el uso de la otra respuesta de$V(b)\subseteq V(Y,W)$, ya que el polinomio que define$b$también puede desaparecer fuera de$V(XW-YZ)$mientras todavía se iba$a/b$definido en todos$V(XW-YZ)\setminus V(Y,W)$.

La suposición sobre$k$es simplemente que es algebraicamente cerrado. Escribiré$V$para$V(XW-YZ)$.

Tenga en cuenta que$V(Y,W)\subseteq V$y$V(X,Z)\subseteq V$, tan dado$b\in\Gamma(V)$hay polinomios bien definidos$b(X,0,Z,0)$y$b(0,Y,0,W)$obtenido por restricción. enchufando$Z=0$también podemos considerar$b(X,0,0,0)$.

Suponiendo que$f=a/b$, tenemos$b\overline{X}=a\overline{Y}$y$b\overline{Z}=a\overline{W}$en$\Gamma(V)$. Por lo tanto, si$\overline{Y}$y$\overline{W}$ambos desaparecen, pero uno de$\overline{X}$y$\overline{Z}$no, entonces$b$debe desaparecer Queda por demostrar que$b(0,0,0,0)=0$. Pero el polinomio$b(X,0,0,0)$se acaba de demostrar que tiene una raíz en cada valor distinto de cero de$X$, y$k$es infinito (problema 1.6), por lo que debe ser el polinomio cero. Esto demuestra que el conjunto de polos de$f$es todo de$V(Y,W)$.

Ahora queremos mostrar que$f$no se puede definir en todos$V\setminus V(Y,W)$por una sola expresión$a/b$. Lo sabemos$b(0,0,0,0)=0$, entonces el polinomio$b(0,Y,0,W)$es idénticamente cero o no constante. Ahora un polinomio no constante en$k[Y,W]$tiene un conjunto infinito que se desvanece (problema 1.14), por lo que debe haber alguna elección distinta de cero de$(Y,W)$(de hecho, infinitamente muchos) con$b(0,Y,0,W)=0$. Esto da nuestro punto deseado fuera del conjunto de polos (pero aún en$V$) dónde$b$desaparece