Importancia de la forma simpléctica en la teoría clásica de campos

Question

Importancia de la forma simpléctica en la teoría clásica de campos

Física
espacio de fase
teoría de campo
corchetes de poisson
formalismo hamiltoniano
teoría clásica del campo

Blazej

Estoy tratando de entender el significado de la construcción que se me presentó en la clase de teoría de campos. Permítanme primero describirlo brevemente y luego hacer preguntas.

Dadas dos soluciones $\phi_1$ , $\phi_2$ de la ecuación de onda escalar $( \Box + m^2 ) \phi_i =0,$ $i=1,2$ se puede definir una corriente conservada, dada por

\begin{matrix} (1) & j [ϕ_{1}, ϕ_{2}] = ϕ_{1} \nabla ϕ_{2} - ϕ_{2} \nabla ϕ_{1}, \end{matrix}

$j[\phi_1, \phi_2] = \phi_1 \nabla \phi _2 - \phi_2 \nabla \phi_1, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot j = 0 . \end{matrix}

$\nabla \cdot j =0 . \tag{2}$

Esto permite construir una forma simpléctica en el espacio de soluciones. Se elige una superficie de Cauchy $\Sigma$ con vector normal de unidad dirigida futura $N$ y define

\begin{matrix} (3) & {ϕ_{1}, ϕ_{2}} = \int_{Σ} norte \cdot j [ϕ_{1}, ϕ_{2}] d^{3} X . \end{matrix}

$\{ \phi_1 , \phi_2 \} = \int _{\Sigma} N \cdot j[\phi_1, \phi_2] d^3 x. \tag{3}$

Además, se puede demostrar que para cualquier solución $\phi$ uno puede elegir una función $\rho$ tal que se cumple la siguiente representación:

\begin{matrix} (4) & \hat{ϕ} (k) = (2 π)^{3 / 2} \hat{D} (k) \hat{ρ} (k), \end{matrix}

$\hat{\phi}(k) = (2 \pi)^{3/2} \hat{D}(k) \hat{\rho}(k), \tag{4}$

donde hat denota la transformada de Fourier y $D$ es la distribución de Pauli-Jordan, que satisface

\begin{matrix} (5) & \hat{D} (k) = \frac{i}{2 π} s gramo norte (k) d (k^{2} - {metro}^{2}) . \end{matrix}

$\hat D (k) = \frac{i}{2 \pi} \mathrm{sgn} (k) \delta (k^2 -m^2).\tag{5}$

Además, esta representación es única hasta la adición de una función con la transformada de Fourier que se desvanece en el caparazón de masa, o se pone de una manera diferente

\begin{matrix} (6) & ϕ_{ρ_{1}} = ϕ_{ρ_{2}} ⟺ \exists x : ρ_{1} - ρ_{2} = (◻ + {metro}^{2}) x . \end{matrix}

$\phi _{\rho_1}=\phi_{\rho_2} \iff \exists \chi : \rho_1-\rho_2=(\Box + m^2) \chi. \tag{6}$

Luego se construye un espacio cociente, dividiendo el espacio de todos $\rho$ por espacio de todos $(\Box +m^2) \chi$ . En este espacio la forma simpléctica $\sigma (\rho_1, \rho_2)=\{ \phi_{\rho_1}, \phi_{\rho_2} \}$ está bien definido y no degenerado. También se puede reescribir como

\begin{matrix} (7) & σ (ρ_{1}, ρ_{2}) = \int ρ_{1} (X) D (X - y) ρ_{2} (y) d^{4} X d^{4} y . \end{matrix}

$\sigma (\rho_1, \rho_2) = \int \rho_1(x) D(x-y) \rho_2(y) d^4 x d^4 y.\tag{7}$

Primera pregunta: ¿son estas formas simplécticas ( $\sigma(\cdot, \cdot)$ y $\{ \cdot, \cdot \}$ ) de alguna manera relacionado con el corchete de Poisson en el espacio de fase en la mecánica hamiltoniana? Esperaría que algo así fuera cierto, pero para eso uno necesitaría interpretar de alguna manera $\rho$ como una función en algún espacio de fase de dimensión infinita. Me pregunto si esto se puede hacer. Y segunda pregunta, pero estrechamente relacionada: ¿cuál es la interpretación de estos $\rho$ funciones? Nuestro profesor nos dijo que deberían considerarse como grados de libertad del campo pero, de nuevo, no lo veo del todo. Un poco de intuición aquí estaría bien.

Blazej

Esto es del curso de teoría de campos que cubre los espinores, el formalismo lagrangiano para campos, el problema de Cauchy, algunas propiedades de las ecuaciones de ondas escalares, la electrodinámica, la ecuación de Weyl y Dirac y al final toca el tema de QFT (solo campos libres). Esta forma simpléctica aparece más tarde en la introducción del campo escalar cuántico, por ejemplo, en las relaciones de conmutación.

[Φ (ρ_{1}), Φ (ρ_{2})] = i σ (ρ_{1}, ρ_{2})

$[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . analogía de

ρ

$\rho$ a

x

$x$ y

p

$p$ en QM ordinario se enfatizó pero me falta algo importante aquí. Y este curso no está en línea y no utiliza ningún libro de texto :(

Respuestas (1)

Importancia de la forma simpléctica en la teoría clásica de campos

Esto es del curso de teoría de campos que cubre los espinores, el formalismo lagrangiano para campos, el problema de Cauchy, algunas propiedades de las ecuaciones de ondas escalares, la electrodinámica, la ecuación de Weyl y Dirac y al final toca el tema de QFT (solo campos libres). Esta forma simpléctica aparece más tarde en la introducción del campo escalar cuántico, por ejemplo, en las relaciones de conmutación. $[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . analogía de $\rho$ a $x$ y $p$ en QM ordinario se enfatizó pero me falta algo importante aquí. Y este curso no está en línea y no utiliza ningún libro de texto :(

qmecanico · Answer 1

La primera parte de la construcción de OP está directamente relacionada con el formalismo hamiltoniano covariante para un campo escalar real con densidad lagrangiana
$\begin{matrix} (CW4) & L = \frac{1}{2} \partial_{α} ϕ \partial^{α} ϕ - V (ϕ), \end{matrix}$ ${\cal L} ~=~ \frac{1}{2}\partial_{\alpha} \phi ~\partial^{\alpha} \phi -{\cal V}(\phi), \tag{CW4}$ véase, por ejemplo, Ref. [CW] y esta publicación de Phys.SE. Consulte también el método de Wronski en esta publicación de Phys.SE. [En esta respuesta usamos el $(+,-,-,-)$ Convención de la firma de Minkowski y establece la constante de Planck $\hbar=1$ a uno.] Las ecuaciones de OP. (1)-(3) corresponden en Ref. [CW] a la corriente simpléctica de 2 formas $\begin{matrix} (CW14) & j^{α} (X) = d ϕ_{C yo} (X) \land \partial^{α} d ϕ_{C yo} (X); \end{matrix}$ $J^{\alpha}(x) ~=~ \delta \phi_{\rm cl}(x) \wedge \partial^{\alpha} \delta\phi_{\rm cl} (x); \tag{CW14}$ que se conserva $\begin{matrix} (CW15) & \partial_{α} j^{α} (X) \approx 0; \end{matrix}$ $\partial_{\alpha} J^{\alpha}(x)~\approx~0 ;\tag{CW15}$ y la forma simpléctica de 2 $\begin{matrix} (CW16) & ω = \int_{Σ} d Σ_{α} j^{α} \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \!\mathrm{d}\Sigma_{\alpha} ~J^{\alpha} \tag{CW16}$ en el espacio de soluciones clásicas, respectivamente. (Tenga en cuenta que Ref. [CW] denota la derivada exterior de dimensión infinita con un $\delta$ preferible a $\mathrm{d}$ .) Si elegimos la superficie de tiempo inicial estándar $\Sigma=\{x^0=0\}$ , volvemos a la forma simpléctica estándar de 2 $\begin{matrix} (CW17) & ω = \int_{Σ} d ϕ_{C yo} \land d {\dot{ϕ}}_{C yo} . \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \delta \phi_{\rm cl} \wedge \delta \dot{\phi}_{\rm cl}. \tag{CW17}$
En la segunda parte de la construcción de OP, nos especializamos a un potencial cuadrático
$\begin{matrix} (A) & V (ϕ) = \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2}, \end{matrix}$ ${\cal V}(\phi) ~=~\frac{1}{2}m^2\phi^2, \tag{A}$ es decir, un campo libre.

La última ecuación de OP. (7) corresponde al conmutador estándar de tiempos no iguales

\begin{matrix} (IZ3-55) & [ϕ (X), ϕ (y)] = i Δ (X - y), \end{matrix}

$[\phi(x),\phi (y)]~=~ i\Delta(x\!-\!y) , \tag{IZ3-55}$ dónde

\begin{matrix} (IZ3-56) & \begin{aligned} Δ & (X - y) \\ = \frac{1}{i} \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{3}} d (k^{2} - {metro}^{2}) s gramo norte (k^{0}) {mi}^{- i k \cdot (X - y)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \Delta&(x\!-\!y) \cr &= \frac{1}{i} \int \! \frac{d^4k}{(2\pi)^3} \delta(k^2\!-\!m^2) ~{\rm sgn}(k^0)~ e^{-ik\cdot (x-y)},\end{align} \tag{IZ3-56}$ véase, por ejemplo, Ref. [IZ]. Para comparar con la ecuación de OP. (7), mancha el conmutador (IZ3-55) con dos funciones de prueba

ρ_{1}

$\rho_1$ y

ρ_{2}

$\rho_2$ . Escritura de diferenciación. al tiempo

y^{0}

$y^0$ rendimientos

\begin{matrix} (B) & \begin{aligned} [ϕ (X), π (y)] = & [ϕ (X), \dot{ϕ} (y)] \\ = & i porque (ω_{k} (X^{0} - y^{0})) d^{3} (X - y), \\ ω_{k} := & \sqrt{k^{2} + {metro}^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(x),\pi (y)] ~=~&[\phi(x),\dot{\phi} (y)]\cr ~=~& i\cos(\omega_{\bf k} (x^0\!-\!y^0))~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \omega_{\bf k}~:=~&\sqrt{{\bf k}^2+m^2}.\end{align} \tag{B}$ ecuaciones (IZ3-55), (IZ3-56) y (B) implican el CCR estándar de igual tiempo ,

\begin{matrix} (IZ3-3) & \begin{aligned} [ϕ (t, X), ϕ (t, y)] = & 0, \\ [ϕ (t, X), π (t, y)] = & i d^{3} (X - y), \\ [π (t, X), π (t, y)] = & 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})] ~=~&0, \cr [\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})] ~=~&i\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr [\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})]~=~&0 . \end{align} \tag{IZ3-3}$ El CCR (IZ3-3) a su vez está relacionado con el soporte de Poisson canónico estándar

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} {ϕ (t, X), ϕ (t, y)}_{PAG B} = & 0, \\ {ϕ (t, X), π (t, y)}_{PAG B} = & d^{3} (X - y), \\ {π (t, X), π (t, y)}_{PAG B} = & 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0, \cr \{\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB}~=~&\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \{\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0 \end{align} \tag{C}$ vía el principio de correspondencia entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

[CW] C. Crnkovic & E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en teorías geométricas. Publicado en Trescientos años de gravitación (Eds. SW Hawking y W. Israel), (1987) 676.
[IZ] C. Itzykson & JB Zuber, QFT, 1985, p.117-118.

Importancia de la forma simpléctica en la teoría clásica de campos

Blazej

Blazej

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qmecanico

En la teoría hamiltoniana de campos, ¿conmutan las derivadas espaciales con corchetes de Poisson?

Un punto confuso del hamiltoniano para una partícula que interactúa con campos electromagnéticos.

¿La propiedad de los corchetes de Poisson como condición necesaria y suficiente para que la transformación sea canónica?

Cargas/constantes de movimiento conservadas dentro y fuera del caparazón

¿Sistema unidimensional un sistema hamiltoniano?

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Analogía del operador tensorial en la física clásica

Transformación canónica de la ecuación de Hamilton

¿Por qué se necesita la distribución delta transversal para los corchetes de Poisson de los componentes de campo EM clásicos?

Teoría hamiltoniana de campos en Peskin y Schroeder