Soporte de Dirac para una partícula restringida

I) Parece que la pregunta principal de OP fue provocada por un error tipográfico debajo de eq. (4.2) en la ref. 1 en la fórmula del vector unitario normal

$$\begin{align} {\bf n}({\bf x})~:=~& \frac{{\bf N}({\bf x})}{|| {\bf N}({\bf x})||}, \cr {\bf N}({\bf x})~:=~&\frac{\partial f({\bf x})}{\partial {\bf x}},\cr || {\bf N}({\bf x})||~:=~&\sqrt{{\bf N}({\bf x})\cdot {\bf N}({\bf x})},\end{align}\tag{1}$$

a la superficie restringida$\{{\bf x}\in \mathbb{R}^n | f({\bf x})=0 \}$en el espacio de posiciones$\mathbb{R}^n$.

II) Es interesante generalizar el escenario de la Ref. 1. Consideremos un$n$variedad de Riemann -dimensional$(M,g)$dotado de dos funciones$f, V:M\to\mathbb{R}$, llamados la restricción y el potencial, respectivamente. El lagrangiano es

$$L~=~L_0 +\lambda f, \qquad L_0~:=~ \frac{1}{2}\dot{x}^i g_{ij}\dot{x}^j-V,\tag{2}$$

dónde$\lambda$es un multiplicador de Lagrange. El espacio de fase extendido es el paquete cotangente$T^{\ast}M$equipado con el soporte canónico de Poisson. El hamiltoniano desnudo es

$$H_0~=~\frac{1}{2}p_i g^{ij}p_j+V. \tag{3}$$

Tenemos una restricción$f \approx 0$. También tenemos una restricción secundaria.

$$\chi~:=~\{f,H_0\}_{PB}~=~p_i \nabla^i f .\tag{4}$$

III) En este punto supondremos que$f$y$\chi$son de segunda clase

$$0~\neq~ \{f,\chi\}_{PB}~=~ (f,f)_{RB}.\tag{5}$$

donde hemos definido un corchete de Riemann

$$(f,f)_{RB}~:=~\partial_if~g^{ij}~\partial_jf.\tag{6}$$

Entonces simplemente postularemos que la evolución temporal está gobernada por el corchete de Dirac

$$\dot{x}^i ~=~\{x^i, H_0\}_{DB} , \qquad \dot{p}_j ~=~\{p_j, H_0\}_{DB}.\tag{7}$$

Tenga en cuenta que las restricciones de segunda clase se conservan bajo la evolución del tiempo, por lo que la propuesta (7) está bien definida y no hay necesidad de restricciones terciarias, etc. El paréntesis de Dirac dice

$$\{ a,b\}_{DB}~=~\{ a,b\}_{PB}+\frac{ \{ a,f\}_{PB}~ \{ \chi,b\}_{PB}-\{ a,\chi\}_{PB} ~\{ f,b\}_{PB}}{(f,f)_{RB}} ,\tag{8}$$

dónde$a,b: T^{\ast}M\to\mathbb{R}$son dos funciones arbitrarias. ecuaciones (4.3) y (4.5) en la Ref. 1 son casos especiales de las ecs. (8) y (7), respectivamente.

Referencias:

1. S. Nguyen & LA Turski, Ejemplos del enfoque de Dirac para la dinámica de sistemas con restricciones Phys. A290 (2001) 431 ; Sección 4.