Soporte de Dirac para la forma de Madelung (polar) del campo de Schrödinger

Tengo un problema al obtener el corchete de Dirac en la representación de Madelung (polar) del campo de Schrödinger:

$$\begin{equation} \Psi=\sqrt{\rho}e^{i\theta/\hbar}. \label{eq:WavefunctionPolarForm} \end{equation}$$

Fondo:

Se ha demostrado (por ejemplo por Nonnenmacher https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02817982 y Guerra https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.28.1916 ) que en esta representación ,$\theta$y$\rho$jugar el papel de variables conjugadas en el espacio de fase$\Gamma=\left( \rho,\theta \right)$con un corchete de Poisson dado por

$$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}=\int d\vec{r}\left(\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta}-\frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)=\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ Básicamente, me gustaría derivar este resultado aplicando el algoritmo de Dirac-Bergmann para sistemas hamiltonianos restringidos. Sin embargo, hay un factor adicional de $2$que aparece en el corchete de Dirac resultante, de modo que $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta} \label{} \end{equation}$$ Como se muestra abajo. Para empezar, tenga en cuenta que una densidad lagrangiana hermitiana para el campo libre de Schrödinger puede escribirse como (véase, por ejemplo, 'QFT elemental' de Henley & Thirring o 'La teoría cuántica del movimiento' de Peter Holland) $$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{i\hbar}{2}\left( \Psi^*\dot{\Psi}-\dot{\Psi}^*\Psi\right)-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\Psi\nabla\Psi^*. \label{} \end{equation}$$ variación de la acción $I=\int dt d^3x\mathcal{L}$con respecto a $\Psi^*$produce la ecuación de Schroedinger y la variación con respecto a $\Psi$da su complejo conjugado. Sustituyendo la forma polar por $\Psi$en esta expresión para $\mathcal{L}$, obtenemos la siguiente forma para $\mathcal{L}$: $$\begin{equation} \mathcal{L}=-\rho\left(\dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)-\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:LagrangianPolarForm} \end{equation}$$ Variación con respecto al campo $\theta$da una ecuación de continuidad: $$\begin{equation} \dot{\rho}+\vec{\nabla}\cdot\vec{J}=0 \label{} \end{equation}$$ dónde $\vec{J}=\rho\vec{\nabla}\theta/m$, mientras que la variación con respecto a $\rho$produce la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi: $$\begin{equation} \dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}-\frac{\hbar^2}{2m\sqrt{\rho}}\nabla^2\sqrt{\rho}=0. \label{} \end{equation}$$ Es bien sabido que estos $2$las ecuaciones de onda se asignan a la ecuación de Schroedinger. Ahora bien, los momentos canónicos son entonces $\pi_{\rho}=0$y $\pi_{\theta}=-\rho$, lo que lleva a las ecuaciones de restricción $C_1=\pi_{\rho}\approx 0$y $C_2=\pi_{\theta}+\rho\approx 0$en el espacio de fase completa $(\rho,\theta,\pi_{\rho},\pi_{\theta})$, donde siguiendo a Dirac el símbolo ' $\approx$' denota una igualdad débil en la hipersuperficie definida por las restricciones. La densidad hamiltoniana canónica está dada por $$\begin{equation} \mathcal{H}_c=\pi_{\theta}\dot{\theta}+\pi_{\rho}\dot{\rho}-\mathcal{L}\approx \rho\left( \frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)+\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:canonicalHamiltonianDensity} \end{equation}$$ El corchete de Poisson de las restricciones, muestra que son de segunda clase: $\left\{ C_1\left( \vec{r} \right), C_2 \left( \vec{r}' \right) \right\}=-\delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)$.

La matriz de restricción corchetes de Poisson con elementos$Q_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)=\left\{ C_i\left( \vec{r} \right),C_j\left( \vec{r}' \right) \right\}$, es entonces

$$\begin{equation} Q\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right), \label{eq:ConstraintPoissonMatrix} \end{equation}$$ cuyo inverso es $$\begin{equation} Q^{-1}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right). \label{eq:ConstraintPoissonMatrixInverse} \end{equation}$$

El soporte de Dirac se puede construir, como

$$\begin{equation} \left\{ f\left(\vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-\sum_{i,j=1,2}\iint d\vec{r}d\vec{r}'\left\{ f\left( \vec{x} \right),C_i\left( \vec{r} \right) \right\}Q^{-1}_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)\left\{ C_j\left( \vec{r}' \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-R_{12}-R_{21}. \label{} \end{equation}$$ Ahora para $R_{12}$uno encuentra $$\begin{equation} R_{12}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}-\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} \right), \label{} \end{equation}$$ y para $R_{21}$: $$\begin{equation} R_{21}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}-\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} \right). \label{} \end{equation}$$ Por lo tanto, tenemos $$\begin{equation} \left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} + \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}+\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}+\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)= \int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} +\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right). \label{} \end{equation}$$ Ahora bien, si hacemos uso de la ecuación de restricción $\pi_{\theta}=-\rho$, obtenemos que el soporte de Dirac se reduce a $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2 \left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ Entonces el espacio de fase se reduce a las variables $\rho$y $\theta$pero el factor de $2$realmente no debería estar allí, ya que conduce a ecuaciones de onda inconsistentes para el $\rho$y $\theta$variables bajo por ejemplo $\dot{\theta}=\left\{ \rho,H_c \right\}_D$. He intentado agregar una derivada de tiempo total a la densidad lagrangiana para empezar. Por ejemplo $$\begin{equation} \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}'=\mathcal{L}+\frac{d}{dt}\left( \rho\theta/2 \right). \label{} \end{equation}$$ Pero esto termina dando un factor de $4$en lugar de $2$.. He notado que si los momentos canónicos conducen a las restricciones $C_1=\pi_{\rho}-2\theta\approx 0$y $C_2=\pi_{\theta}+2\rho\approx 0$, entonces el corchete de Dirac se reduce al corchete de Poisson $\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}$sin ningún prefactor.. Pero no parece posible agregar una derivada de tiempo total a $\mathcal{L}$que logra esto. ¿Alguna idea?

¡Gracias!