Estructura hamiltoniana de la electrodinámica de Chern Simons

Question

Estructura hamiltoniana de la electrodinámica de Chern Simons

Física
teoría de calibre
corchetes de poisson
chern-simons-theory
dinámica restringida
formalismo hamiltoniano

SprCsm

Estoy leyendo el artículo de revisión "Aspectos de la teoría de Chern-Simons" de Gerald Dunne

A partir de la pág. 17, Dunne trabaja sobre la estructura hamiltoniana del electromagnetismo CS. Cuando no existe un término de Maxwell, la acción CS viene dada por

\begin{matrix} (70) & L = \frac{1}{2} ϵ^{i j} {\dot{A}}_{i} A_{j} + A_{0} B \end{matrix}

$L = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} \dot{A}_i A_j + A_0 B\tag{70}$

donde me puse $\kappa = 1$ , y esto se da en su ecuación 70. El momento conjugado es entonces

\begin{matrix} (73) & Π^{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{A}}_{i}} = \frac{1}{2} ϵ^{i j} A_{j} \end{matrix}

$\Pi^i = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}_i} = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} A_j\tag{73}$

que también se puede encontrar en su eq. (66) dado que $e \rightarrow \infty$ . Las relaciones de conmutación canónicas de igual tiempo vienen dadas por

\begin{matrix} (68) & [A_{i} (X), Π^{j} (X)] = i d_{i}^{j} d^{2} (X - y) \end{matrix}

$\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)\tag{68}$

que se da en su ec. (68). Luego, usa la definición de momento conjugado y encuentra que

\begin{matrix} (72) & [A_{i} (X), A_{j} (X)] = i ϵ_{i j} d^{2} (X - y) . \end{matrix}

$\left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y).\tag{72}$

No sé cómo obtener este resultado. Ahora déjame escribir lo que tengo

[A_{i} (X), Π^{j} (X)] = \frac{1}{2} ϵ^{j k} [A_{i} (X), A_{k} (X)]

$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$

Por otra parte, desde $\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)$ , tenemos

i d_{i}^{j} d^{2} (X - y) = \frac{1}{2} ϵ^{j k} [A_{i} (X), A_{k} (X)]

$\begin{equation} i \delta^j_i \delta^{2} (x-y) = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$

Multiplicando cada lado por $2 \epsilon_{jm}$ y usando $\epsilon^{jm} \epsilon_{jn} = \delta^m_n$ , yo obtengo

[A_{i} (X), A_{j} (X)] = 2 i ϵ_{i j} d^{2} (X - y)

$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = 2 i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y) \end{equation}$

Aparentemente me falta un factor de 2, pero no tengo idea de lo que hago mal.

SprCsm

Usé el soporte de Dirac pero todavía obtuve el mismo resultado. En realidad, es solo conectar alguna definición en una ecuación, ¿no es así? ¿Qué podría hacer mal? ¿Tiene una extraña definición de

ϵ

$\epsilon$ tal que

ϵ^{a b} ϵ_{b c} = 2 δ_{c}^{a}

$\epsilon^{ab} \epsilon_{bc} = 2 \delta^a_c$ ?

SprCsm

mi lucha es más simple que el grado de libertad contando. es simplemente pasar de una ecuación a la siguiente conectando alguna definición. Ni siquiera puedo pasar ese punto. ¿Cómo deshacerse del factor de 2 en el conmutador A,A?

Respuestas (1)

Estructura hamiltoniana de la electrodinámica de Chern Simons

Usé el soporte de Dirac pero todavía obtuve el mismo resultado. En realidad, es solo conectar alguna definición en una ecuación, ¿no es así? ¿Qué podría hacer mal? ¿Tiene una extraña definición de $\epsilon$ tal que $\epsilon^{ab} \epsilon_{bc} = 2 \delta^a_c$ ?
mi lucha es más simple que el grado de libertad contando. es simplemente pasar de una ecuación a la siguiente conectando alguna definición. Ni siquiera puedo pasar ese punto. ¿Cómo deshacerse del factor de 2 en el conmutador A,A?

qmecanico · Answer 1

No hay factor de 2. El análisis de Dirac-Bergmann $^1$ va de la siguiente manera. Las restricciones de segunda clase son

x^{i} = π^{i} - \frac{1}{2} ϵ^{i j} A_{j}, i \in {1, 2} .

$\chi^i ~=~\pi^i - \frac{1}{2}\epsilon^{ij} A_j, \qquad i~\in~\{1,2\}.$ La matriz de corchetes de Poisson

^{2}

$^2$ de las restricciones de segunda clase es

Δ^{i j} (X, y) := {x^{i} (X), x^{j} (y)} = - ϵ^{i j} d^{2} (X - y),

$\Delta^{ij}(x,y)~:=~\{\chi^i(x),\chi^j(y)\}~=~-\epsilon^{ij}\delta^2(x-y),$ entonces la matriz inversa es

(Δ^{- 1})_{i j} (X, y) = - (ϵ^{- 1})_{i j} d^{2} (X - y) .

$(\Delta^{-1})_{ij}(x,y)~=~-(\epsilon^{-1})_{ij}\delta^2(x-y).$ El soporte de Dirac se convierte en

{A_{i} (X), A_{j} (y)}_{D} = - (ϵ^{- 1})_{i j} d^{2} (X - y) .

$\{A_i(x),A_j(y)\}_D~=~-(\epsilon^{-1})_{ij}\delta^2(x-y).$

Referencias:

GV Dunne, arXiv:hep-th/9902115 .

--

$^1$ Árbitro. 1 menciona implícitamente entre las ecs. (70)-(71) un atajo a través del método Faddeev-Jackiw .

$^2$ Para pasar de soportes a conmutadores, multiplique con $i\hbar$ .

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