Restricciones no holonómicas en la teoría de Dirac-Bergmann

Question

Restricciones no holonómicas en la teoría de Dirac-Bergmann

Física
corchetes de poisson
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

AccidentalFourierTransformar

El algoritmo de Dirac-Bergmann aísla efectivamente los grados físicos de libertad de un sistema, cambiando los corchetes de Poisson $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{PB}$ a los corchetes de Dirac $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ .

Resumen rápido: dejar $\chi_i\approx0$ ser las restricciones. Exigimos que $\chi_i=\chi_i(q,p)$ y escribe $M_{ij}\equiv \{\chi_i,\chi_j\}_\mathrm{PB}$ para cada restricción de segunda clase. Finalmente, los corchetes de Dirac están dados por $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}=\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{PB}-\{\cdot,\chi_i\}M^{ij}\{\chi_j,\cdot\}$ .

Mi pregunta : si tenemos una restricción dependiente de la velocidad, $\chi_0=\chi_0(q,\dot q)$ , y $p=p(\dot q)$ no es invertible (transformada singular de Legendre), entonces el corchete de Poisson $\{\chi_0,\cdot\}_\mathrm{PB}$ no está definido. ¿Significa esto que es imposible definir $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ ?

una mente curiosa

Una "restricción" en el sentido de Dirac-Bergmann es una función de

q

$q$ y

p

$p$ , algo que "talla" una superficie de restricción en el espacio de fase.

\dot{q}

$\dot{q}$ nunca entra, ya que no es una coordenada del espacio fase. Si tiene alguna "restricción" que depende de

\dot{q}

$\dot{q}$ , no estás en una teoría sobre el espacio de fase.

AccidentalFourierTransformar

Pero, ¿qué sucede si comenzamos con un lagrangiano y algunas restricciones, que dependen de la velocidad? ¿No podemos cambiar a hamiltonianos y tratar de imponer esta restricción allí?

una mente curiosa

No me parece. La naturaleza misma de las restricciones hamiltonianas es que corresponden a singularidades en la transformada de Legendre y también miden simetrías del Lagrangiano (acción). No provienen de restricciones lagrangianas.

AccidentalFourierTransformar

Las restricciones hamiltonianas generalmente corresponden a singularidades de Legendre y simetrías de calibre, a la derecha. Al menos, esto es lo que surge naturalmente en las aplicaciones prácticas. Pero, en principio, podríamos tener otras restricciones que queremos imponer por alguna razón (de la misma manera que a veces imponemos restricciones en los sistemas lagrangianos: para restringir el movimiento en un plano y similares). Mi punto es: las restricciones no provienen de nada en particular: provienen de lo que queremos imponer. Las singularidades y las simetrías de calibre son una posibilidad, pero podemos imponer otras restricciones si queremos, ¿verdad?

una mente curiosa

Sí, pero eso no es para lo que está diseñado el método Dirac-Bergmann (y, en general, no existe un método para lidiar con restricciones arbitrariamente extrañas que pueda imaginar, hasta donde yo sé). Cuando se dice "mecánica hamiltoniana restringida" o "receta de Dirac-Bergmann", se quiere decir que las restricciones son funciones en el espacio de fase.

Respuestas (1)

Restricciones no holonómicas en la teoría de Dirac-Bergmann

Una "restricción" en el sentido de Dirac-Bergmann es una función de $q$ y $p$ , algo que "talla" una superficie de restricción en el espacio de fase. $\dot{q}$ nunca entra, ya que no es una coordenada del espacio fase. Si tiene alguna "restricción" que depende de $\dot{q}$ , no estás en una teoría sobre el espacio de fase.
Pero, ¿qué sucede si comenzamos con un lagrangiano y algunas restricciones, que dependen de la velocidad? ¿No podemos cambiar a hamiltonianos y tratar de imponer esta restricción allí?
No me parece. La naturaleza misma de las restricciones hamiltonianas es que corresponden a singularidades en la transformada de Legendre y también miden simetrías del Lagrangiano (acción). No provienen de restricciones lagrangianas.
Las restricciones hamiltonianas generalmente corresponden a singularidades de Legendre y simetrías de calibre, a la derecha. Al menos, esto es lo que surge naturalmente en las aplicaciones prácticas. Pero, en principio, podríamos tener otras restricciones que queremos imponer por alguna razón (de la misma manera que a veces imponemos restricciones en los sistemas lagrangianos: para restringir el movimiento en un plano y similares). Mi punto es: las restricciones no provienen de nada en particular: provienen de lo que queremos imponer. Las singularidades y las simetrías de calibre son una posibilidad, pero podemos imponer otras restricciones si queremos, ¿verdad?
Sí, pero eso no es para lo que está diseñado el método Dirac-Bergmann (y, en general, no existe un método para lidiar con restricciones arbitrariamente extrañas que pueda imaginar, hasta donde yo sé). Cuando se dice "mecánica hamiltoniana restringida" o "receta de Dirac-Bergmann", se quiere decir que las restricciones son funciones en el espacio de fase.

qmecanico · Answer 1

Sea el lagrangiano de la forma

L (q, \dot{q}, t) = L_{0} (q, \dot{q}, t) + λ^{a} x_{a} (q, \dot{q}, t),

$L(Q,\dot{Q},t)~=~L_0(q,\dot{q},t) + \lambda^a \chi_a (q,\dot{q},t),$

con restricciones no holonómicas dependientes de la velocidad $\chi_a=\chi_a (q,\dot{q},t)$ ; Multiplicadores de Lagrange $\lambda^a$ ; y donde hemos introducido la notación abreviada

q^{I} = {q^{i}; λ^{a}}, {PAG}_{I} = {{pag}_{i}; π_{a}} .

$Q^I~=~\{q^i; \lambda^a\}, \qquad P_I~=~\{p_i; \pi_a\}.$

Siempre que la teoría esté bien planteada y sea consistente, en principio aún podemos aplicar la receta de Dirac-Bergmann al espacio de configuración extendido de $Q^I$ -variables para realizar una (posible singular) transformación de Legendre para lograr el hamiltoniano correspondiente $H(Q,P,t)$ y posibles restricciones, de primera y/o segunda clase, y finalmente derivar el corchete de Dirac en el espacio de fase extendido.

Gracias por el consuelo. Simplemente no podía creer que no podamos lidiar con estas limitaciones en el enfoque de Dirac. Resulta que podemos, pero (para mí) está lejos de ser trivial. Por ejemplo, encontré el artículo " Un algoritmo de restricción para lagrangianos singulares sujetos a restricciones no holonómicas " de de Leon y de Diego researchgate.net/publication/… que todavía estoy tratando de digerir, pero parece prometedor. De todos modos, déjame decirte de nuevo que realmente aprecio tus contribuciones.

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