¿Son todos conjuntos de nnn, st R(m)n=IR(m)n=IR(m)^n=I, donde R(m)R(m)R(m) es cualquier secuencia de movimientos mmm en un Rubik? cubo y III es el operador de identidad, conocido?

He escrito un programa que encuentra el número de veces,$n$, se debe aplicar cualquier operación$R_i(m)$, que consiste en$m$movimientos individuales/giros/operaciones elementales en un cubo de Rubik, st$R_i(m)^n=I$, el operador de identidad. Elegí incluir mover las secciones intermedias también, de modo que las operaciones elementales legales sean las 18 combinaciones posibles de$"\!\text{rotate \{1}^{\text{st}}\vee \text{2}^{\text{nd}}\vee \text{3}^{\text{rd}} \} \;\;\{\text{row} \vee \text{column} \vee \text{page} \} \;\frac{\pi}{2}\;\{\text{clockwise} \vee \text{counter-clockwise}\}.\!"$

Por ejemplo, si partimos de un cubo resuelto y, utilizando la notación Singmaster , aplicamos la operación$R(2)=LU'$, debemos hacer esto$n = 63$veces antes de que volvamos exactamente al mismo cubo resuelto (significado exacto de que no se permite rotar el cubo en relación con el inicial).

En la primera figura a continuación, vemos el$n$es para$10^4$operaciones que consisten en dos ($m=2$) movimientos elegidos al azar. Teniendo en cuenta que hay$18^m$diferentes operaciones posibles consistentes en$m$se mueve, muy pocos valores de$n$están permitidos; ellos, junto con los valores para$m=1,3$, son

$$\begin{align*} a_1&=\{4\} \\ a_2&=\{1,2,4,8,12,63,105,126,210,1260\}\\ a_3&=\{4,8,12,20,24,30,36,60,72,80,84,90,120,132,168,180,190,210,228,240,252,330,360,390,396,420,560,630,720,840,1190,1260,1560,9240\} \end{align*}$$ (OEIS no encuentra nada), y las frecuencias de los mismos (así como para $m=3,4$) se muestran en la segunda figura. Yo sé eso $a_2$está completo (no hay otros posibles $n$para $m=2$), ya que forcé todas las posibilidades (lo cual es factible para una computadora para $m=1,2,3$, pero no mucho más).

P: Tener todas esas listas$a_m$(así como sus frecuencias relativas) se han calculado?

Aquí hay algunas preguntas adicionales, que no es necesario abordar para que se acepte una respuesta, pero que, sin embargo, encuentro interesantes:

Para hacer la tercera cifra, promedié todos$n$para una dada$m$.

BQ1: ¿Por qué$n$por impar$m$generalmente más pequeño que para incluso$m$? Esto de alguna manera parece contrario a la intuición.

BQ2: Si uno divide los datos para$m$pares e impares en dos gráficas separadas, parecen seguir aproximadamente$\sqrt{m}$. ¿Por qué? (Supongo que esto podría calcularse directamente si la respuesta a Q es afirmativa).