Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

Question

Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

Matemáticas
teoría de grupos
serie de poder
teoría de los números
crecimiento de subgrupos
secuencias y series

mike bataglia

Para cualquier racional $r=n/d$ , definir

h_{s} (r) = (norte d)^{s}

$h_s(r) = (nd)^s$

dónde $s > 0$ es un parámetro libre. La intención es que esto sea una representación de cuán "simple" es cada racional; los racionales más simples se clasifican más abajo.

Ahora, supongamos $S$ es un subgrupo finitamente generado del grupo multiplicativo de racionales estrictamente positivos $\Bbb Q^+$ . Entonces podemos usar nuestro $h_s$ para definir una noción útil del "tamaño" del subgrupo de la siguiente manera:

h_{s} (S) = \sum_{r \in S} \frac{1}{h_{s} (r)}

$h_s(S) = \sum_{r \in S} \frac{1}{h_s(r)}$

Esto está garantizado para converger siempre que $s>0$ . Además, siempre que tengamos $s \in \Bbb N^+$ , incluso parece converger a un número racional. Llamemos a esto el racional asociado con $S$ por algún valor de $s$ .

PREGUNTA: ¿hay alguna expresión de forma cerrada para cada suma que dé el racional asociado con un subgrupo arbitrario, al menos para $s=1$ ? ¿Se ha estudiado esto y tiene un nombre?

Aquí hay algunos ejemplos para $s=1$ , ordenados de "más grande" a "más pequeño".

Para los siguientes ejemplos, sé cómo obtener una expresión de forma cerrada:

\begin{aligned} h_{1} (⟨ 2, 3, 5, 7 ⟩) & = 12 \\ h_{1} (⟨ 2, 3, 5 ⟩) & = 9 \\ h_{1} (⟨ 2, 3, 7 ⟩) & = 8 \\ h_{1} (⟨ 2, 3, 25 ⟩) & = 13 / 2 = 6.5 \\ h_{1} (⟨ 2, 9, 5 ⟩) & = 45 / 8 = 5.625 \\ h_{1} (⟨ 3 / 2, 7 / 5 ⟩) & = 126 / 85 \approx 1.482 \end{aligned}

$\begin{align} h_1(\langle 2,3,5,7 \rangle) &= 12 \\ h_1(\langle 2,3,5 \rangle) &= 9 \\ h_1(\langle 2,3,7 \rangle) &= 8 \\ h_1(\langle 2,3,25 \rangle) &= 13/2 = 6.5 \\ h_1(\langle 2,9,5 \rangle) &= 45/8 = 5.625 \\ h_1(\langle 3/2, 7/5 \rangle) &= 126/85 \approx 1.482 \end{align}$

Aquí hay algunos ejemplos de subgrupos para los que no tengo una expresión de forma cerrada, pero que son bastante fáciles de evaluar numéricamente y que se puede ver fácilmente que conducen a un valor racional

\begin{aligned} h_{1} (⟨ 2, 9, 5 / 3 ⟩) & = 5 \\ h_{1} (⟨ 4, 3 / 2, 5 ⟩) & = 37 / 8 \approx 4.625 \\ h_{1} (⟨ 6, 10 ⟩) & = 584 / 315 \approx 1.854 \\ h_{1} (⟨ 3 / 2, 5 / 2 ⟩) & = 584 / 315 \approx 1.854 \\ h_{1} (⟨ 6, 15 / 2 ⟩) & = 3459 / 2090 \approx 1.655 \end{aligned}

$\begin{align} h_1(\langle 2,9,5/3 \rangle) &= 5 \\ h_1(\langle 4,3/2,5 \rangle) &= 37/8 \approx 4.625 \\ h_1(\langle 6,10 \rangle) &= 584/315 \approx 1.854 \\ h_1(\langle 3/2,5/2 \rangle) &= 584/315 \approx 1.854 \\ h_1(\langle 6,15/2 \rangle) &= 3459/2090 \approx 1.655 \end{align}$

Es fácil jugar con estas sumas, ya que convergen relativamente rápido, al menos para subgrupos de rango pequeño. Llevarlos a 1000 términos se puede hacer en unos pocos segundos, y para todos estos obtienes una fracción continua relativamente corta que de repente "casi termina" con un número enorme de miles de millones más o menos.

La primera lista es fácil de obtener en forma cerrada porque cada subgrupo tiene una base de racionales coprimos por pares, lo que hace que las cosas sean bastante fáciles de obtener. Para ver esto, primero, tenga en cuenta que tenemos lo siguiente para nuestro $h_s(r)$ :

Para cualquier racional $r \neq 1$ y $s>0$ , tenemos $h_s(r) > 1$ .
Para cualquier racional $r$ y cualquier entero $z$ , tenemos $h_s(r^z) = h_s(r)^{|z|}$
Para cualesquiera dos racionales coprimos $r_1, r_2$ , tenemos $h_s(r_1 \cdot r_2) = h_s(r_1) \cdot h_s(r_2)$ .

Entonces si tenemos $S = \langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle$ , y todo el $r_i$ son coprimos, entonces podemos escribir cualquier racional $r$ como ${r_1}^{a_1} \cdot {r_2}^{a_2} \cdot \ldots {r_n}^{a_n}$ , para que tengamos $h_s(r) = h_s(r_1)^{|a_1|} \cdot h_s(r_2)^{|a_2|} \cdot \ldots \cdot h_s(r_n)^{|a_n|}$ . Como resultado, podemos escribir nuestra sumatoria como

h_{s} (⟨ r_{1}, r_{2}, \dots, r_{norte} ⟩) = \sum_{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{norte} \in Z^{norte}} (\frac{1}{{h_{s} (r_{1})}^{| a_{1} |}} \cdot \frac{1}{{h_{s} (r_{2})}^{| a_{2} |}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{{h_{s} (r_{norte})}^{| a_{norte} |}})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \sum_{a_1, a_2, \ldots, a_n \in \Bbb Z^n} \left( \frac{1}{{h_s(r_1)}^{|a_1|}} \cdot \frac{1}{{h_s(r_2)}^{|a_2|}} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{{h_s(r_n)}^{|a_n|}}\right)$

que podemos factorizar en un producto de sumas:

h_{s} (⟨ r_{1}, r_{2}, \dots, r_{norte} ⟩) = (\sum_{a_{1} \in Z} \frac{1}{{h_{s} (r_{1})}^{| a_{1} |}}) (\sum_{a_{2} \in Z} \frac{1}{{h_{s} (r_{2})}^{| a_{2} |}}) \dots (\sum_{a_{norte} \in Z} \frac{1}{{h_{s} (r_{norte})}^{| a_{norte} |}})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \left( \sum_{a_1 \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_1)}^{|a_1|}} \right) \left( \sum_{a_2 \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_2)}^{|a_2|}} \right) \ldots \left( \sum_{a_n \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_n)}^{|a_n|}} \right)$

que, mientras $s>0$ , converge a través de algunas manipulaciones simples de series de potencias para

h_{s} (⟨ r_{1}, r_{2}, \dots, r_{norte} ⟩) = (\frac{h_{s} (r_{1}) + 1}{h_{s} (r_{1}) - 1}) (\frac{h_{s} (r_{2}) + 1}{h_{s} (r_{2}) - 1}) \dots (\frac{h_{s} (r_{norte}) + 1}{h_{s} (r_{norte}) - 1})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \left( \frac{h_s(r_1)+1}{h_s(r_1)-1} \right) \left( \frac{h_s(r_2)+1}{h_s(r_2)-1} \right) \ldots \left( \frac{h_s(r_n)+1}{h_s(r_n)-1} \right)$

Cualquier subgrupo generado por números primos tendrá la forma anterior. Entonces, dado que esta expresión converge para todos esos subgrupos, sabemos que convergerá para cualquier subgrupo multiplicativo de $\Bbb Q^+$ .

Respuestas (2)

Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

Praveen Venkataramana · Answer 1

Para $S$ un subgrupo de índice finito de $T = \{2,3,\dots,p\}$ por algún número primo $p$ ,

\sum_{r \in S} \frac{1}{h_{1} (r)} = \sum_{r \in T} \frac{[r \in S]}{h_{1} (r)} = \frac{1}{[T : S]} \sum_{r \in T} \sum_{x : T / S \to C^{*}} \frac{x (r)}{h_{1} (r)}

$\sum_{r\in S} \frac{1}{h_1(r)} = \sum_{r\in T} \frac{[r\in S]}{h_1(r)} = \frac{1}{[T : S]}\sum_{r\in T} \sum_{\chi : T/S \to \mathbb{C}^*} \frac{\chi(r)}{h_1(r)}$

donde la segunda suma se extiende sobre los caracteres de $T/S$ interpretadas como funciones de $T$ a $\mathbb{C}$ . Pero dado que tales caracteres son completamente multiplicativos, y $h_1$ es multiplicativo, esto es igual

\frac{1}{[T : S]} \sum_{x} \prod_{q} (\sum_{r \in ⟨ q ⟩} \frac{x (r)}{h_{1} (r)}) = \frac{1}{[T : S]} \sum_{x} \prod_{q} (\frac{q + x (q)}{q - x (q)})

$\frac{1}{[T : S]} \sum_\chi \prod_{q}\left( \sum_{r\in \langle q\rangle} \frac{\chi(r)}{h_1(r)} \right)=\frac{1}{[T : S]} \sum_\chi \prod_{q}\left( \frac{q + \chi(q)}{q - \chi(q)} \right)$

donde los productos se extienden sobre números primos $2,3,\dots,p$ . Si $n := [T : S]$ , este último es un elemento de $\mathbb{Q}[e^{2\pi i / n}]$ fijada por el grupo Galois de $\mathbb{Q}[e^{2\pi i / n}] / \mathbb{Q}$ , por lo tanto racional.

Lee Woo · Answer 2

estoy casi seguro de que $h_{s}(S)$ son racionales para $s\in \mathbb{Z}_{>0}$ , y aquí hay un cálculo para $h_{1}(\langle 2, 9, 5/3\rangle) = 5$ .

Cada $r\in S = \langle 2, 9, 5/3\rangle$ tiene una forma de

r = 2^{a} 3^{2 b} {(\frac{5}{3})}^{C} = 2^{a} 3^{2 b - C} 5^{C}

$r = 2^{a} 3^{2b} \left(\frac{5}{3}\right)^{c} = 2^{a} 3^{2b-c}5^{c}$ para

a, b, c \in Z

$a, b, c\in \mathbb{Z}$ , y

h_{1} (S) = \sum_{a, b, C \in Z} \frac{1}{2^{| a |} 3^{| 2 b - C |} 5^{| C |}} = (\frac{2 + 1}{2 - 1}) \sum_{b, C \in Z} \frac{1}{3^{| 2 b - C |} 5^{| C |}} = 3 \sum_{C \in Z} \frac{1}{5^{| C |}} \sum_{b \in Z} \frac{1}{3^{| 2 b - C |}}

$h_{1}(S) = \sum_{a, b, c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{2^{|a|}3^{|2b-c|}5^{|c|}} \\ = \left(\frac{2 + 1}{2 - 1}\right) \sum_{b, c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|} 5^{|c|}} \\ = 3 \sum_{c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{5^{|c|}} \sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|}}$ Ahora la suma termina

b

$b$ depende de la paridad de

c

$c$ :

\sum_{b \in Z} \frac{1}{3^{| 2 b - C |}} = {\begin{cases} \sum_{b \in Z} \frac{1}{3^{2 | b |}} = \frac{5}{4} & 2 | C \\ \sum_{b \in Z} \frac{1}{3^{| 2 b - 1 |}} = \frac{3}{4} & 2 ∤ C \end{cases}

$\sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|}} = \begin{cases} \sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{2|b|}} = \frac{5}{4} & 2|c \\ \sum_{b\in \mathbb{Z}}\frac{1}{3^{|2b-1|}} = \frac{3}{4} & 2\nmid c \end{cases}$ entonces

h_{1} (S) = 3 (\frac{5}{4} (1 + \frac{2}{5^{2}} + \dots) + \frac{3}{4} (\frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \dots)) = 5.

$h_{1}(S) = 3\left( \frac{5}{4} \left( 1 + \frac{2}{5^{2}} + \cdots\right) + \frac{3}{4} \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \cdots\right)\right) = 5.$

En general $S$ , creo que un poco de álgebra lineal puede ayudar a mostrar que $h_{1}(S)$ son racionales.

Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

mike bataglia

Respuestas (2)

Praveen Venkataramana

Lee Woo

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