¿Qué grupos finitos tienen su grado mínimo de permutación igual a su orden?

Podría valer la pena producir una prueba rápida aquí, ya que el resultado no es difícil. (Se me ocurrió esto, luego verifiqué la prueba de Johnson, que es increíblemente similar).

Procedemos por inducción sobre$|G|$, con el objetivo de demostrar que$G$es$C_{p^n}$,$C_2\times C_2$, o$Q_{2^n}$.

Si$G$tiene dos subgrupos distintos$A$y$B$de órdenes principales$p$y$q$respectivamente (permitiendo$p=q$) entonces$G$actúa sobre las costas de$A$y$B$, produciendo una representación de permutación fiel en$|G|/|A|+|G|/|B|=|G|/p+|G|/q$puntos. esto es menos que$|G|$a menos que$p=q=2$. Así podemos suponer que$G$es un$p$-grupo con un único subgrupo de orden$p$, o$p=2$. En el primer caso, es un hecho 'estándar' que$p$-grupos con un único subgrupo de orden$p$son cuaterniones cíclicos o generalizados. Esto produce la primera y la tercera de nuestras opciones.

Así por inducción$p=2$,$G$tiene dos subgrupos$A$y$B$de orden$2$, y son necesariamente normales, de lo contrario$G$tiene una fiel representación en las costas de$A$(o$B$). El grado mínimo de$G$es a lo sumo la suma de la de$G/A$y$G/B$, ambos de orden$|G|/2$, Así que si$G$es Cayley entonces ambos$G/A$y$G/B$son. Si cualquiera es$C_2\times C_2$entonces$|G|=8$y podemos simplemente verificar, por lo que ambos son cuaterniones cíclicos o generalizados. De este modo$G/A$tiene un único subgrupo de orden$2$para cualquier subgrupo$A$de orden$2$, por lo que hay un único subgrupo de orden$4$que contiene$A$. Como hay más de un elemento de orden$2$, por lo tanto, no puede haber ningún elemento de orden$4$cuadrando en$A$. Pero$A$fue elegido arbitrariamente, por lo que$G$no tiene elementos de orden$4$en absoluto.

De este modo$G$tiene exponente$2$, por lo que es abeliano, y tiene un único subgrupo de orden$4$que contiene cualquier elemento dado de orden$2$, Asi es$C_2\times C_2$, y hemos terminado.

Para asegurarme de que esto no quede sin respuesta (pero lo estoy haciendo wiki comunitario):

Como señala Derek Holt , se hizo una pregunta similar en math.overflow ; esa pregunta formulada de manera más general cuál es el grado mínimo de un grupo.

Una respuesta de Jack Schmidt allí cita el artículo:

Johnson, DL "Representaciones de permutación mínima de grupos finitos". Amer. J. Matemáticas. 93 (1971), 857-866. MR 316540 DOI: 10.2307/2373739 .

El documento está disponible en JSTOR (segundo enlace arriba). El teorema 1 establece:

Teorema 1. La representación regular de un grupo$G$es mínimo si y sólo si$G$es

1. un grupo cíclico de primer orden de potencia, o
2. un cuaternión generalizado$2$-grupo, o
3. el grupo de cuatro [Klein].

Así que esto dice que tu pregunta sobre$Q_{16}$tiene una respuesta positiva, y que los que encontró son esencialmente (a excepción de los grupos de cuaterniones generalizados más grandes) todos los ejemplos de lo que ha llamado grupos de Cayley.