Homomorfismo de matriz de permutación

Question

Homomorfismo de matriz de permutación

matrices
Matemáticas
teoría de grupos
permutaciones
grupos simétricos
matrices-de-permutacion

cabina de franco

¿Puede alguien ayudarme a probar que la matriz de permutación es homomorfismo? Con eso, quiero decir, dejar $f: S_n \to GL_n (\Bbb R), f(\sigma)=A_\sigma$ es homomorfismo. El libro me dice que lo demuestre yo mismo, no tengo ni idea de cómo hacerlo. Una pequeña pista haría

¡Gracias de antemano!

pjs36

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Homomorfismo de matriz de permutación

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spinoza · Answer 1

Tienes que demostrar que, para todos $\sigma_1, \sigma_2\in S_n$ ,

F (σ_{1} σ_{2}) = F (σ_{1}) F (σ_{2}) .

$f(\sigma_1\sigma_2)=f(\sigma_1)f(\sigma_2).$ En su caso, esto significa

A_{σ_{1} σ_{2}} = A_{σ_{1}} A_{σ_{2}} .

$A_{\sigma_1\sigma_2}=A_{\sigma_1}A_{\sigma_2}.$

eso está claro por definición. ¿Puedes por favor elaborar un poco más?
Creo que el punto es que debes tratar de probar la declaración yendo a la definición real y escribiendo las cosas. ¿Cuál es la definición de las matrices de permutación? ¿Cuál es la definición de multiplicación de matrices? Tendrás que hacer un pequeño cálculo, y el punto es que no necesitas grandes ideas, solo las definiciones de todo lo involucrado.
@Aaron Lo resolví. Simplemente entré en pánico de alguna manera, gracias: D las cosas computacionales me asustan
@IdiotfromPrinceton Siempre paso demasiado tiempo buscando una perspectiva conceptual de alto nivel que a veces paso por alto los cálculos fáciles. Pero para problemas simples, ir a definiciones y hacer cálculos simples puede ser bastante efectivo. Desafortunadamente, puede ser difícil saber qué es simple hasta después de haberlo resuelto.

Homomorfismo de matriz de permutación

cabina de franco

pjs36

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spinoza

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Aarón

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Aarón

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