Para las clases de congruencia, ¿qué significa b=g–1agb=g–1agb = g^{–1}ag?

Permítanme explicar la conjugación en el marco de un grupo cristalográfico plano (que es un poco más simple que los grupos espaciales y los conceptos son prácticamente idénticos).

La idea clave de la conjugación en este escenario es que si dos movimientos rígidos en el plano son conjugados, entonces son simetrías del "mismo tipo", donde por "mismo tipo" me refiero (algo vagamente) a la clasificación de movimientos rígidos planos. según sus propiedades geométricas: rotación, traslación, reflexión o reflexión por deslizamiento; y más propiedades numéricas como el ángulo de rotación y la distancia de traslación. Permítanme poner algo de carne en esto repasando la clasificación de los movimientos rígidos planos.

Para la prueba, dejemos$a,b$Ser planos planos rígidos que son conjugados entre sí. De ello se deduce que existe un movimiento rígido plano$g$tal que$b = g^{-1} a g$.

• Si$a$es una rotación alrededor de algún punto entonces$b$es también una rotación alrededor de algún punto. Además, los ángulos de rotación de$a$y$b$son iguales.

Aquí está la prueba detallada.

Primero, deja$p$ser el punto alrededor del cual$a$gira Resulta que$a(p)=p$, es decir, el punto$p$es fijado por$a$. De ahí se sigue que el punto$q = g^{-1}(p)$es fijado por$b$, es decir$b(q)=q$, porque

$$b(q) = g^{-1} a g(q) = g^{-1} a (p) = g^{-1}(p) = q$$ Ese ejemplo captura prácticamente toda la estrategia: uno sigue usando la ecuación de conjugación una y otra vez, para probar que las propiedades de "clasificación" de$a$y de$b$son lo mismo.

Pasemos a los ángulos de rotación de$a$y$b$. Dejar$\theta$Sea el ángulo de rotación de$a$, lo que significa que si$\overrightarrow{pr}$es cualquier rayo basado en$p$, entonces$\theta$es igual al ángulo entre el rayo$\overrightarrow{pr}$y el rayo de la imagen$a(\overrightarrow{pr})$. Desde$g^{-1}$es un movimiento rígido, se sigue que$\theta$es igual al ángulo entre los rayos$g^{-1}(\overrightarrow{pr})$y$g^{-1}(a(\overrightarrow{pr}))$. Ahora volvamos a expresar esos dos últimos rayos.

$$\begin{align*} g^{-1}(\overrightarrow{pr}) &= \overrightarrow{g^{-1}(p) g^{-1}(r)} \\ &= \overrightarrow{q g^{-1}(r)} \\ &= \overrightarrow{qs} \end{align*}$$ donde nos ponemos$s = g^{-1}(r)$.

También,

$$\begin{align*} g^{-1}(a(\overrightarrow{pr})) &= (g^{-1} a)(\overrightarrow{pr}) \\ &= (b g^{-1})(\overrightarrow{pr}) \\ &= b \left(\overrightarrow{g^{-1}(p) g^{-1}(r)}\right) \\ &= b(\overrightarrow{q s}) \end{align*}$$ Así hemos demostrado que$\theta$es también el ángulo entre el rayo$\overrightarrow{qs}$y su imagen rayo$b(\overrightarrow{qs})$bajo$b$, y por lo tanto$b$también tiene ángulo de rotación$\theta$.

Probablemente sea suficiente prueba detallada para que pueda hacerse una idea, pero aquí está el resto de la clasificación de movimiento rígido, con esquemas de prueba:

• Si$a$es un reflejo a través de una línea entonces$b$es también un reflejo a través de una línea.

Esquema de prueba: Sea$L$ser la línea que$a$se refleja a través; entonces$g^{-1}(L)$es la linea que$b$se refleja a través.

• Si$a$es una traducción, con distancia de traducción$d$, entonces$b$es también una traducción con distancia de traducción$d$.

Esquema de prueba: Para cualquier punto$p$,$d$es igual a la distancia de$x$a$a(p)$. Alquiler$q = g^{-1}(p)$, resulta que$d$es igual a la distancia de$q=b(p)$a$b(q)=b(g^{-1}(p)=g^{-1}(a(p))=g^{-1}(q)$.

• Si$a$es un reflector de deslizamiento a lo largo de una línea$L$, traduciendo esa línea a lo largo de sí misma por la distancia$d$, entonces$b$es un reflector de deslizamiento a lo largo de la línea$g^{-1}(L)$, trasladando la línea a lo largo de sí misma por la distancia$d$.