Homomorfismo inducido por acción de grupo

Si GRAMO es un grupo que actúa sobre X , que es un conjunto de todas las clases laterales izquierdas de H ≤ GRAMO (tal que | GRAMO : H | = k ), por multiplicación por la izquierda, entonces esta acción de grupo induce un homomorfismo ϕ : GRAMO → S X , tal que ϕ ( gramo ) = π gramo , dónde π gramo ( a H ) = gramo a H .

Me gustaría analizar este homomorfismo y agradecería su participación (y ayuda). Tengo entendido que este homomorfismo es inyectivo porque ker ⁡ ( ϕ ) = mi . Pero también he estado tratando de entender si es sobreyectiva. Tome una permutación arbitraria π gramo ′ , entonces ϕ ( gramo ′ ) = π gramo ′ , lo que implica que ∃ gramo ∈ GRAMO para cada π gramo ∈ S norte , y esto gramo es único. También podemos encontrar un homomorfismo inverso ψ : S X → GRAMO definido por ψ ( π gramo ) = gramo . ¿Significa esto que el homomorfismo ϕ es de hecho un isomorfismo, y que | GRAMO | debe ser igual | S X | ?

qué es S X ¿aquí?

Respuestas (2)

La imagen de ϕ es un subgrupo transitivo de S | GRAMO / H | , pero eso es todo lo que puedes decir al respecto; puede aparecer cualquier subgrupo transitivo (ejercicio). el núcleo de ϕ es la intersección ⋂ gramo ∈ GRAMO gramo H gramo − 1 de todos los conjugados de H (ejercicio).

Tienes razón sobre los subconjuntos, he corregido esa parte. ¿Puede decirme qué es un subgrupo transitivo?
@secuencia: un subgrupo transitivo de S norte es un subgrupo que actúa transitivamente sobre { 1 , 2 , … norte } .
La intersección ⋂ gramo ∈ GRAMO gramo H gramo − 1 es el núcleo de ϕ , ¿te refieres a?
@sequence: sí, eso es lo que quiero decir.
Pero ϕ opera sobre elementos de GRAMO , no en conjuntos?
@secuencia: sí, así es. ¿Cuál es la pregunta?
Si ker ⁡ ( ϕ ) = ⋂ gramo ∈ GRAMO gramo H gramo − 1 , entonces ϕ ( gramo h gramo − 1 ) = π gramo h gramo − 1 . Hace π gramo h gramo − 1 tiene que ser igual a π mi ?
@secuencia: me has entendido mal. Estoy tomando la intersección, no la unión. El kernel consta de elementos que se pueden escribir en la forma gramo h gramo − 1 , h ∈ H por cada gramo ∈ GRAMO .
Sí, pero ¿un elemento de esta intersección no tendrá la forma de gramo h gramo − 1 para algunos h ∈ H ?
@sequence: eso es correcto, pero no se sigue que cada elemento de este formulario se encuentre en el núcleo. He aquí una forma más específica del ejercicio: demuestre que gramo H gramo − 1 es el estabilizador de la coset gramo H .
Pero sólo aquellos que conmutan con todos los elementos en GRAMO , es decir h ∈ Z ( GRAMO ) ? Lo que implicaría que Z ( GRAMO ) ≤ H ?
@sequence: no, el centro es irrelevante aquí.
Está bien, creo que lo tengo. ¡Muchas gracias!
Pero, ¿cómo se te ocurrió la idea de que gramo H gramo − 1 es el estabilizador de gramo H ? Quiero decir que ahora está claro, pero ¿qué te hizo pensar en esta idea? ¿Lo acabas de ver inmediatamente?
@sequence: no es difícil ver esto. ¿Qué significa para un elemento? gramo ′ ∈ GRAMO estabilizar gramo H ? Esto significa que gramo ′ gramo H = gramo H . Esto significa que gramo − 1 gramo ′ gramo H = H , lo que equivale a decir que gramo − 1 gramo ′ gramo ∈ H .
Si gramo − 1 gramo ′ gramo ∈ H ¿Significa que gramo H gramo − 1 ⊂ H ?
@secuencia: no. Significa gramo − 1 gramo ′ gramo = h para algunos h ∈ H , por eso gramo ′ = gramo h gramo − 1 , que es lo que estaba tratando de mostrar.
Qiaochu Yuan: Después de tu explicación, entiendo cuál es el núcleo de ϕ es. Sin embargo, me pregunto acerca de lo siguiente: π gramo h gramo − 1 ( a H ) = gramo h gramo − 1 a H = H , desde gramo h gramo − 1 ∈ a H a − 1 ⟹ gramo h gramo − 1 a ∈ a H . ¿Dónde está mi error? Después de tu explicación, entiendo cuál es el núcleo de ϕ es. Sin embargo, me pregunto acerca de lo siguiente: π gramo h gramo − 1 ( a H ) = gramo h gramo − 1 a H = H , desde gramo h gramo − 1 ∈ a H a − 1 ⟹ gramo h gramo − 1 a ∈ a H . ¿Dónde está mi error?
@sequence: no entiendo tu pregunta. Además, ¿por qué introduce dos notaciones para la acción de gramo ? No necesitas ambos ϕ ( gramo ) y π gramo .
Si tomamos un elemento gramo h gramo − 1 ∈ ker ⁡ ϕ entonces ϕ ( gramo h gramo − 1 ) = π gramo h gramo − 1 . Ahora π gramo h gramo − 1 ( a H ) = gramo h gramo − 1 a H = a H (desde gramo h gramo − 1 a ∈ a H ). No importa, veo dónde no estaba bien.
@secuencia: si gramo h gramo − 1 se supone que se encuentra en el núcleo de ϕ entonces nosotros tenemos π gramo h gramo − 1 ( a H ) = a H , por definición. Así que sigo sin entender tu pregunta.

Para subgrupo arbitrario H de GRAMO , el homomorfismo ϕ : GRAMO → S X = S GRAMO / H no es necesariamente inyectiva o sobreyectiva.

Considerar GRAMO con | GRAMO | = 9 y | H | = 3 . Obtendremos un homomorfismo ϕ : GRAMO → S GRAMO / H ≅ S 3 . Comparando órdenes, verás que no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

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