Estoy leyendo un libro de texto de álgebra abstracta y uno de los ejercicios es el siguiente:
Demostrar que toda permutación en es el producto de ciclos disjuntos.
Traté de resolverlo por mi cuenta, pero me quedé atascado en el caso especial en el que una permutación es un solo ciclo (por ejemplo, en ), ya que no puede ser disjunto con ningún otro ciclo en ese grupo de permutación, y necesita dos elementos para realizar la multiplicación. Pensé que tal vez sería disjunto del conjunto vacío, pero la multiplicación no está bien definida.
Terminé encontrando una prueba aquí , pero no parece considerar el caso especial. También intenté buscar esta pregunta en línea, pero no puedo encontrar ningún ejemplo de que se haya hecho antes. Lo más parecido que puedo encontrar es esta página wiki , que solo dice que un ciclo es una permutación.
Entonces, mi pregunta es la siguiente: ¿una permutación compuesta de un ciclo es un producto de ciclos disjuntos incluso si no hay multiplicación? ¿Si es así, cómo?
Estás en el camino correcto conceptualmente cuando dices que es "disjunto del conjunto vacío". Esta no es exactamente la forma de expresarlo, pero el sentimiento está ahí: es inconexo de todos los otros ciclos, porque no hay otros ciclos.
Así es como lo expresaría: una permutación es el producto de ciclos disjuntos si, para algunos , Se puede escribir como donde cada uno es un ciclo y y son disjuntos cuando .
Asi es ¿un producto de ciclos disjuntos? Probemos: ¿hay un y un conjunto de ciclos de modo que ? Seguro: y .
Shaun
mateo raymond