Número de elementos en una órbita y prueba de isomorfismo.

Me piden encontrar el número de elementos en la órbita de la permutación.$\sigma=(123)(45)(67)$en$S_{7}$, y demuestre que su centralizador es isomorfo a$\mathbb{Z}_3\times D_4$.

Pude probar que su órbita contiene$420$elementos - todos los elementos en$G({\sigma})$(su órbita) tienen la forma de$(x_{1}x_{2}x_{3})(x_{4}x_5)(x_6x_7)$entonces usando combinatoria y el hecho de que por ejemplo$(x_{1}x_{2}x_{3})=(x_{3}x_{1}x_{2})=(x_{2}x_{3}x_{1})$Me sale que el número de elementos es 420 ($\frac{7\times 6\times 5}{3}$opciones para$(x_{1}x_{2}x_{3})$,$\frac{5\times 4}{2}$para$(x_{4}x_5)$y$\frac{2}{2}$para$(x_6x_7)$) .

Ahora traté de encontrar su centralizador. Pude encontrar un elemento con orden.$4$-$(6475)$y un elemento de orden$2$-$(45)$y un elemento de orden$3$-$(123)$. Además, he probado que$\langle(123)\rangle, \langle(6475),(45)\rangle$son subgrupos de$C_{s_{7}}(\sigma)$(que es el centralizador de$\sigma$en$S_7$). Así que si pruebo que estos son todos los elementos en$C_{s_{7}}(\sigma)$, conseguiré eso$\mathbb{Z}_3\times D_4$es isomorfo a$C_{s_{7}}(\sigma)$. Pero, usando el teorema de la órbita - estabilizador, obtengo que$|C_{s_{7}}(\sigma)|$=$\frac{|S_7|}{|G(\sigma)|}=\frac{7!}{420}=12\neq|\mathbb{Z_3}\times D_4|=24$.

¿Dónde está mi error?