Método eficiente para determinar el orden de una permutación en SnSnS_n

Podemos calcular fácilmente el orden de una permutación que se escribe como el producto de ciclos disjuntos .

Entonces, primero debemos "multiplicar" (componer) la permutación expresada como el producto de los ciclos no disjuntos que publicaste. Llamemos a tu permutación$\alpha$:

$$\alpha = (\color{blue}{\bf 1}57)(\color{blue}{\bf 1}34)(\color{blue}{\bf 1}2) \in S_{10}$$

He resaltado en azul por qué$\alpha$no es el producto de ciclos disjuntos :$1$aparece en cada uno de los tres ciclos de factores, y en cada uno, se permuta a diferentes valores:$1\to 5,\;1\to 3, \;1\to 2$

Entonces, cuando componemos estos ciclos que son cada uno un factor de$\alpha$, obtenemos el ciclo único que proporciona caveman:

$$\alpha = (157)(134)(12) = (6)(1\,5\,7\,3\,4\,2)(8)(9)(10) = (1\,5\,7\,3\,4\,2).$$

Ahora podemos abordar el orden de una permutación:

Definimos la duración de un ciclo como el número de elementos en el ciclo.

Definimos el$|$ orden $|$de una permutación escrita como el producto de ciclos disjuntos para ser el mínimo común múltiplo $(\operatorname{lcm})$de la duración de esos ciclos. Entonces para$\rho \in S_n$, escrito como el producto de$k$ciclos disjuntos:

$$\operatorname{order}(\rho) = |\rho| = |\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_k| = \operatorname{lcm}(|\sigma_1|, |\sigma_2|, \ldots , |\sigma_k|)$$

Desde$\alpha =(1\,5\,7\,3\,4\,2)$es un "ciclo único", su orden es igual a su longitud , que es$6$.

Si tuviéramos la permutación, por ejemplo:

$$\beta = (1\,2\,3)(4\,5)(6\,7\,8),$$ entonces el orden de $\beta$sería $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 3\cdot 2 = 6$.

$$(157)(134)(12) = (157342)$$ entonces tiene orden $6$.