Objetos iniciales y terminales en la categoría de plataformas

Como señaló Najib Idrissi en su comentario, su prueba está bien. Encontrará más bajo el nombre semiring .

Aquí hay una explicación conceptual para "todo" con respecto a la categoría$\mathsf{SemiRing}$: Es isomorfo a$\mathsf{Mon}(\mathsf{CMon},\otimes)$. Aquí,$(\mathsf{CMon},\otimes)$es la categoría monoide de monoides conmutativos equipados con el producto tensorial que clasifica funciones bilineales en el sentido obvio (similar al caso de los grupos abelianos), objeto unitario$\mathbb{N}$, asociados como se esperaba, etc. A cada categoría monoide$(\mathcal{C},\otimes)$podemos asociar su categoría de objetos monoides$\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$. Ahora aquí hay algo que me gustaría enfatizar:

Muchas declaraciones generales sobre monoides, anillos, semianillos, monoides topológicos, álgebras de Banach, haces de anillos, espectros de anillos, ... en realidad se derivan de declaraciones generales sobre objetos monoides en categorías monoidales de buen comportamiento.

La primera observación de este tipo es que el objeto unidad$1$de una categoría monoide$(\mathcal{C},\otimes)$siempre tiene una estructura monoide canónica (la unidad es$\mathrm{id}_1 : 1 \to 1$, la multiplicación es$\lambda_1=\rho_1 : 1 \otimes 1 \to 1$), y que el monoide resultante es un objeto inicial en$\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$.

La siguiente observación es que el funtor olvidadizo$\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes) \to \mathcal{C}$crea todos los límites. Si ya conoces la prueba de$\mathcal{C}=\mathsf{Set}$, solo cópialo. En particular, si$t \in \mathcal{C}$es un objeto final, entonces lleva una estructura monoide única (a saber, los morfismos únicos$1 \to t$y$t \otimes t \to t$), y este monoide es un objeto final en$\mathsf{Mon}(\mathcal{C},\otimes)$.

Estos dos hechos generales aplicados a$(\mathsf{Ab},\otimes)$resp.$(\mathsf{CMon},\otimes)$producir objetos iniciales y finales de$\mathsf{Ring}$y$\mathsf{SemiRing}$En seguida.