Pregunta básica sobre la categoría CRing

Dejar A sea ​​un anillo (unitario conmutativo), sea I ⊆ A sea ​​un ideal distinto de cero. ¿Existen homomorfismos inyectivos? A → A / I ?

He estado pensando un rato, teniendo en cuenta que los homomorfismos A / I → R están en biyección natural con los homomorpismos A → R cuyos núcleos contienen I (para cualquier anillo R ), pero no pude probar nada. Por otro lado, traté de encontrar algunos ejemplos, pero sin éxito. ¿Puedes darme alguna sugerencia?

Respuestas (1)

Seguro. El ejemplo trivial es dejar I = ( 0 ) y sacando el mapa del cociente. Pero también hay muchos ejemplos con I ≠ ( 0 ) .

El primer ejemplo que se me ocurre sería el siguiente: Vamos A = k [ X 1 , X 2 , ⋯ ] sea ​​el anillo de polinomios con infinitas variables y sea I = ( X 1 ) , entonces A / I ≅ k [ X 2 , X 3 , ⋯ ] . El mapa

k [ X 1 , X 2 , ⋯ ] → k [ X 2 , X 3 , ⋯ ] ,   X i ↦ X i + 1
es un isomorfismo (y en particular inyectivo).

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