Demostración de un isomorfismo de anillo polinomial

Pista: Este es un ejemplo de una propiedad universal. Usando la parte (a), tienes un morfismo único de$\mathbb{Z}[x]$a$A$enviando$x$a$a;$llama esto$\iota.$Probar$\iota$es un isomorfismo, solo necesitas construir su inversa. ¿Por qué propiedad de$A$¿Puedes construir un mapa de candidatos para$\iota^{-1} : A \rightarrow\mathbb{Z}[x],$y ¿cómo puedes demostrar que son inversas?

$\iota \colon \mathbb{Z}[x] \rightarrow A$mapas$\sum_{i=1}^n p_ix^i$a$\sum_{i=1}^n p_ia^i$, usando$\iota(x) = a$, la propiedad multiplicativa de un homomorfismo para obtener$\iota(x^i)=\iota(x)^i$y la propiedad aditiva para obtener$\iota(p_i)\iota(x)^i = p_i\iota(x)^i$recordando$p_i$es en$\mathbb{Z}$.

Yendo en la dirección$A \rightarrow \mathbb{Z}[x]$sabemos como se dispone en (b) arriba que, tomando$R=\mathbb{Z}[x]$, y$\psi=\iota^\prime$, existe un homomorfismo de anillo único tal que$\iota^\prime(a)=x$. Entonces$\iota^\prime$mapas$\sum_{i=1}^np_ia^i$a$\sum_{i=1}^{n}p_ix^i$y$\iota^\prime \circ \iota = 1_{\mathbb{Z}[x]}$. También usando definiciones de$\iota$y$\iota^\prime$rinde fácilmente$\iota \circ \iota^\prime = 1_A$