¿Por qué no usamos conglomerados en álgebra abstracta? [cerrado]

Es perfectamente razonable modelar toda la progresión "conjunto, clase, conglomerado,..." usando el sistema axiomático dado por ZFC junto con el axioma de que existe una clase propia de cardenales fuertemente inaccesibles. En este marco, un "conjunto" es solo un conjunto de cardinalidad menor que el primero inaccesible, una "clase" es un conjunto menor que el segundo inaccesible, un "conglomerado", el tercero inaccesible, etc. En este marco, a menudo denominado el sistema de axiomas de los "universos de Grothendieck", está claro que existe una "homogeneidad" que impide cualquier distinción seria entre los resultados sobre objetos algebraicos del tamaño de una clase y de un conglomerado, ya que al final todos estos son solo conjuntos incontables realmente grandes. Mientras que otros sistemas de axiomas como NBG permiten una diferencia entre conjuntos y clases, para obtener algo más preciso, tendrá que especificar un sistema de axiomas. En cualquier caso, la formalización de los universos de Grothendieck debería servir como una fuerte heurística de que no hay posibilidad de encontrar nada interesante en este camino.

Asumiendo que estamos trabajando en alguna teoría apropiada capaz de manejar conglomerados (también llamados "hiperclases" o " $2$-clases" en otras fuentes) de manera razonable, entonces sí , de hecho hay "anillos" del tamaño de un conglomerado (eliminaré la hipótesis del tamaño de la definición de un anillo por simplicidad en el futuro).

No hay nada misterioso en esto; por ejemplo, podemos formar el anillo polinomial del tamaño de un conglomerado $\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]$dado un conglomerado $\mathfrak{X}$de (cosas que elegimos interpretar como) indeterminados. De hecho, la mayoría de las veces no sucede nada muy sorprendente cuando consideramos estructuras "ultragrandes" (aunque hay excepciones ocasionales). De antemano, no conozco ninguna propiedad particularmente interesante que se mantenga para los anillos de tamaño de clase, pero no para los anillos de tamaño de conglomerado.