¿Son siempre completas las soluciones separables de la ecuación de Schrödinger?

Este resultado se llama el teorema espectral . Para un espacio de Hilbert de dimensión finita$\mathscr H$, el enunciado es que dado cualquier autoadjunto$^\ddagger$operador$H$, existe una base ortonormal$\{\hat e_i\}$que consta de vectores propios de$H$, y que todos los valores propios correspondientes son reales.

La demostración de esta afirmación es la siguiente.

1. Por el teorema fundamental del álgebra,$\mathrm{det}(H-\lambda \mathbb I)=0$tiene al menos una solución - digamos,$\lambda_1$. Esto implica que existe al menos un vector distinto de cero$\hat e_1$(que normalizamos por conveniencia) tal que$(H-\lambda_1 \mathbb I) \hat e_1 = 0 \iff H\hat e_1 = \lambda_1 \hat e_1.$
2. Porque$H$es autoadjunto, tenemos $$\lambda_1 = \langle \hat e_1,H\hat e_1\rangle = \langle H \hat e_1 ,\hat e_1 \rangle = \overline{\lambda_1} \implies \lambda_1\in \mathbb R$$
3. Dejar$\{\hat e_1\}^\perp$denota el complemento ortogonal de$\hat e_1$- es decir, el conjunto de todos los vectores$v\in\mathscr H$tal que$\langle \hat e_1,v\rangle = 0$. Porque$H$es autoadjunto, tenemos que $$\langle \hat e_1,Hv\rangle = \langle H\hat e_1,v\rangle = \lambda_1 \langle \hat e_1,v\rangle = 0 \implies Hv \in \{\hat e_1\}^\perp$$ Nosotros decimos eso$\{\hat e_1\}^\perp$es invariable bajo la acción de$H$. En consecuencia, si dejamos$\hat e_1$ser el primer elemento de nuestra base ortonormal, entonces$H$toma la forma $$H = \pmatrix{\lambda_1 & \matrix{0 &\cdots&0}\\\matrix{0\\\vdots\\ 0} & H'}$$ dónde$H'$es un$(n-1)\times (n-1)$-matriz autoadjunta dimensional. Este proceso se puede repetir para$H'$y así sucesivamente, dando finalmente una matriz diagonal con entradas reales y la base reclamada de los vectores propios.

Para un espacio de Hilbert de dimensión infinita$\mathcal H$, esta situación se vuelve más complicada porque el espectro$\sigma$de un operador arbitrario puede consistir en puntos discretos (llamado el espectro de puntos ,$\sigma_p$) así como un continuo (llamado el espectro continuo ,$\sigma_c$).

Si el espectro de$H$es punto puro (entonces$\sigma_c = \emptyset$), entonces la prueba es similar en espíritu al caso de dimensión finita, pero hay tecnicismos que entran en juego si$H$no está acotado; sin embargo, la conclusión es la misma excepto por el hecho de que la base en cuestión no tiene un número finito de elementos. Si el espectro de$H$contiene una parte continua, surgen aún más tecnicismos y se requiere toda la maquinaria del análisis funcional; en física, esto corresponde operativamente a la aparición de estados propios no normalizables (o generalizados ), como los que aparecen para el hamiltoniano de partículas libres$H:= \frac{\hat P^2}{2m}$.

$^\ddagger$Es fácil demostrar que si$H\neq H^\dagger$pero$[H,H^\dagger]=0$, entonces$H=A + i B$dónde$A,B$son operadores autoadjuntos conmutables. Esto nos permite generalizar esta prueba a los llamados operadores normales , y lo único que cambia es que el espectro de$H$puede ser complejo.