¿Paquetes de ondas que no satisfacen la ecuación de Schrödinger?

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de una partícula libre en 1 dimensión es

$$\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x\psi(x) = E\psi(x) \end{equation}$$ que tiene soluciones en forma de$e^{ikx}$, dónde$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$y$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$.

Cualquier superposición de estas funciones debe ser también una solución a la ecuación de Schrödinger, así que digamos

$$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}.$$

Entonces esperamos que$\partial_x^2\psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)$aún mantiene. Sin embargo,

$$\partial_x^2\psi(x) = \partial_x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \partial_x^2 \phi(k)e^{ikx} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx}$$ .

Entonces la ecuación de Schrödinger implica que

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)(ik)^2e^{ikx} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k)e^{ikx}$$ Eso es, $$\int\limits_{\infty}^{\infty}dk k^2\phi(k)e^{ikx} = \frac{2mE}{\hbar^2}\int\limits_{\infty}^{\infty}dk \phi(k)e^{ikx},$$ para cualquier función$\phi(k)$. ¿Significa esto que los paquetes de ondas no satisfacen la ecuación de Schrödinger?