Solución completa de la función de onda para el problema de partículas en una caja

El estado "real" de la partícula depende completamente de las condiciones iniciales de la función de onda. Y mientras pregunta sobre la partícula en una caja, esta respuesta se puede aplicar a prácticamente cualquier problema de QM de introducción. Dado que no ha entrado en nada relacionado específicamente con la partícula en una caja, también me quedaré en el lado más general.

La fórmula que has dado$\Psi(x,t)=\sum \alpha _n \psi _n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$es la solución general a este problema, donde$\psi _n(x)$son las funciones propias del hamiltioniano$\hat H$. Sin más información, esto es todo lo que realmente puede decir.

Si conocemos la función de onda inicial, entonces podemos expresar esta función de onda en la base propia

$$\psi(x,t=0)=\psi_0=\sum \beta_n \psi_n(x)$$

dónde

$$\beta_n=\int \psi_0^*\space \psi_n(x)dx$$

parece algo molesto pensar en infinitos estados con la misma probabilidad para todos ellos, y esas probabilidades restringidas a la suma de uno...

La probabilidad de medir nuestra partícula en estado$n$es dado por$|\beta_n|^2$suponiendo que todo esté normalizado. Esto no significa que todas estas probabilidades sean iguales (es decir, no es cierto que$\beta_1=\beta_2=\beta_3=...$). Además, la restricción de que todos estos suman ser iguales a$1$es necesaria para que lo que entendemos por probabilidad tenga sentido. Podemos tener infinitas sumas de términos desiguales cuya suma tiende a$1$. Difícilmente lo llamaría molesto. Es extremadamente útil, y también me parece genial, que podamos describir una gran cantidad de funciones de la misma manera: una suma infinita de funciones propias.

Los valores de la$\alpha_n$dependen de las condiciones iniciales para una función de onda particular. Si preparas el$n=1$estado propio de energía$\psi_1$(o medir la energía de un estado y encontrar que es$E_1$), entonces$\alpha_1=1$y todos los demás son cero, para todo el tiempo (esto es porque el$\psi_n$forman una base diagonal completa para el hamiltoniano y, por lo tanto, son estados estacionarios).

Si prepara algún otro estado arbitrario con función de onda$\phi(x)$, entonces el$\alpha_n$están determinados por la superposición entre$\phi$y$\psi_n$, ya que los estados propios de energía forman una base:

$$|\phi\rangle=\sum_{n=1}^\infty\langle\psi_n|\phi\rangle|\psi_n\rangle\equiv\sum_{n=1}^\infty\alpha_n|\psi_n\rangle$$

y por lo tanto:

$$\alpha_n=\langle\psi_n|\phi\rangle=\int\langle\psi_n|x\rangle\langle x|\phi\rangle \;dx\equiv\int\psi_n^*(x)\phi(x)\;dx$$

que funciona porque la posición indica$\{|x\rangle\}$formar una base continua completa.