¿Cómo explica el "espacio curvo" la atracción gravitacional? [duplicar]

Si echa un vistazo a mi respuesta a Cuando los objetos caen a lo largo de trayectorias geodésicas de espacio-tiempo curvo, ¿por qué no hay ninguna fuerza que actúe sobre ellos? esto explica cómo en una superficie curva dos observadores en movimiento parecerán experimentar una fuerza que los une. Sin embargo, dos observadores estacionarios no sentirán ninguna fuerza. La fuerza solo se vuelve aparente cuando te mueves sobre la superficie curva.

Esto también es cierto en la relatividad general, pero lo que los recién llegados a GR olvidan fácilmente es que en GR consideramos el movimiento en el espacio-tiempo, no solo en el espacio. Siempre te estás moviendo en el espacio-tiempo porque no puedes evitar moverte en el tiempo. Su velocidad en el espacio-tiempo se conoce como la velocidad de cuatro y , de hecho, la magnitud de la velocidad de cuatro (técnicamente la norma ) siempre es$c$. Entonces, no puedes evitar moverte a través del espacio-tiempo (¡a la velocidad de la luz!) y cuando el espacio-tiempo es curvo, esto significa que experimentarás fuerzas gravitatorias.

Probablemente estés familiarizado con la primera ley del movimiento de Newton. Esto dice que la aceleración de un cuerpo es cero a menos que una fuerza actúe sobre él. La segunda ley de Newton nos da la ecuación de la aceleración:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m}$$

La relatividad general equivalente a esto se llama ecuación geodésica:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta \tag{1}$$

Esto es mucho más complicado que la ecuación de Newton, pero la similitud debería ser obvia. A la izquierda tenemos una aceleración, ya la derecha tenemos el GR equivalente a una fuerza. Los objetos$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$son los símbolos de Christoffel y estos nos dicen cuánto se curva el espacio-tiempo. La cantidad$u$es la velocidad de cuatro.

Ahora consideremos el ejemplo particular que describes de soltar una pelota. Dices que la pelota inicialmente está estacionaria. Si fuera estacionario en el espacio-tiempo, es decir, las cuatro velocidades$u = 0$, entonces el lado derecho de la ecuación (1) siempre sería cero y la aceleración siempre sería cero. Para que la pelota no se caiga. Pero la velocidad cuatro no es cero.

Supongamos que usamos coordenadas polares$(t, r, \theta, \phi)$y escribe la velocidad de cuatro como$(u^t, u^r, u^\theta, u^\phi)$. Si mantiene la pelota estacionaria en el espacio, los componentes espaciales de las cuatro velocidades son cero:$u^r = u^\theta = u^\phi = 0$. Pero aún te estás moviendo en el tiempo (aproximadamente) un segundo por segundo, así que$u^t \ne 0$. Si usamos la ecuación geodésica (1) para calcular la aceleración radial obtenemos:

$${d^2 r \over d\tau^2} = - \Gamma^r_{tt} u^t u^t$$

El símbolo de Christoffel$\Gamma^r_{tt}$es endiabladamente complicado de calcular, así que haré lo que todos hacemos y lo buscaré:

$$\Gamma^r_{tt} = \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)$$

y nuestra ecuación para la aceleración radial se convierte en:

$${d^2 r \over d\tau^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) u^t u^t \tag{2}$$

Ahora, no propongo ir más lejos con esto porque las matemáticas se vuelven muy complicadas muy rápidamente. Sin embargo, debería ser obvio que la aceleración radial es distinta de cero y negativa. Eso significa que la pelota acelerará hacia adentro. Que es, por supuesto, exactamente lo que observamos. Lo interesante es considerar lo que sucede en el límite newtoniano, es decir, cuando los efectos GR son tan pequeños que pueden ignorarse. En este límite tenemos:

• $d\tau = dt$asi que$d^2r/d\tau^2 = d^2r/dt^2$

• $1 \gg \frac{2GM}{c^2r}$entonces el término$1 - \frac{2GM}{c^2r} \approx 1$

• $u^t \approx c$

Si alimentamos estas aproximaciones en la ecuación (2) obtenemos:

$${d^2 r \over dt^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}c^2 = - \frac{GM}{r^2}$$

¡y esto es simplemente la ley de la gravedad de Newton!

Imagine dos autos a una milla de distancia en el ecuador, conduciendo hacia el polo norte. Cuando lo alcanzan, están a 0 millas de distancia, y durante todo el viaje, la distancia entre ellos disminuye.

¿Qué es 'juntar' los autos? Nada. La tierra es curva, así que a medida que viajan, se juntan.

El espacio-tiempo es de la misma manera. Siempre estamos 'viajando' en una dirección hacia adelante (tiempo o similar al tiempo), y si el espacio es curvo, algunas cosas aceleran juntas como si se hubiera aplicado una fuerza.

El corazón de la Relatividad General se encuentra en el Principio de Equivalencia que dice: El efecto de la gravedad es completamente equivalente a un marco acelerado. No existe ningún proceso físico o experimento por el cual puedas distinguir estos dos. Entonces, cualquier pregunta relacionada con una región gravitacional puede pensarse en usar un marco acelerado.

Entonces , consideremos su problema. Cuando sostienes la pelota en la tierra, puedes pensar de manera equivalente como si estuvieras sosteniendo la pelota en un ascensor que va hacia arriba. Ahora piensa en lo que sucede en el escenario del levantamiento cuando abres la empuñadura. Debido a que ninguna fuerza está actuando sobre la pelota ahora, permanece en una constante. velocidad y, de hecho, en el marco del ascensor, acelera hacia abajo. Así que esto es lo que debería suceder también en un campo de gravedad. De ahí se sigue.

Si desea una imagen de la curvatura del espacio-tiempo, debe recordar que la relatividad general habla de la gravedad como una curvatura del espacio-tiempo, no solo del espacio. El argumento que les diste no es válido. La Tierra se mueve en el espacio-tiempo bajo la influencia de la curvatura creada por el Sol. Pero localmente la tierra misma crea una curvatura en el espacio-tiempo. La pelota se mueve no solo en la curvatura creada por el Sol sino también por la Tierra. Por lo tanto, además de moverse de la misma manera que la tierra se mueve alrededor del sol, tiene un movimiento adicional. Este movimiento adicional se debe a la curvatura creada por la Tierra que, en el marco de la Tierra, se parece a la fuerza de la gravedad hacia el centro de la Tierra.

Considere a los astronautas en la estación espacial. Están flotando libremente en el espacio sin que ninguna fuerza gravitatoria aparente actúe sobre ellos. Si estuvieran parados en una balanza, su peso sería cero. Pero, el campo gravitatorio en el área general de la Estación Espacial Internacional es casi el mismo que en la superficie de la Tierra. La razón de pesar cero es que estos astronautas ya están cayendo libremente. No hay fuerzas externas que actúen sobre ellos.

Cuando sostienes esa pelota en tu mano mientras estás parado en la superficie de la tierra, estás aplicando una fuerza externa que la mantiene en ese lugar en particular. Luego, cuando sueltas la pelota, esa fuerza ya no existe. Si una pelota se está moviendo y aplicas una fuerza para detenerla y luego quitas esa fuerza, la pelota se moverá de nuevo.

Otro experimento a realizar es eliminar las fuerzas que actúan sobre ti saltando desde un edificio alto (imagínate solo en tu cabeza) mientras sostienes la pelota y luego suelta la pelota. Tú y la pelota caerán a la misma velocidad.

Me gusta la analogía de Ari con un cuadro acelerado.

Si quieres tu respuesta en términos de curvatura, recuerda que GR dice que un objeto siempre sigue una geodésica. Si el espacio-tiempo fuera plano, entonces esto significaría moverse a una velocidad constante o estar en reposo, lo que corresponde a lo que dijiste con "Un objeto en reposo permanece en reposo a menos que una fuerza externa actúe sobre él".

Esto solo es cierto en un espacio-tiempo plano . Si el espacio y el tiempo son curvos, entonces estar en reposo ya no es una geodésica.

Una geodésica es una línea universal (trayectoria en el espacio y el tiempo) que minimiza el intervalo de 'espacio-tiempo' entre dos eventos,$s^2 = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$.

Estar en reposo significa moverse solo en el tiempo, pero si el tiempo es curvo, permanecer en x=0 no minimiza la geodésica. Si te movieras en el espacio para equilibrar la curvatura en el tiempo, volverías a tener un mínimo.