Potencial gravitatorio en GR

Si observa la fórmula del símbolo de Christoffel en términos del tensor métrico, verá que necesita tomar derivadas. Entonces ...

Potencial$\overset{\text{take derivative}}\rightarrow$Fuerza$\rightarrow$Aceleración.

Es como:

Métrico$\overset{\text{take derivative}}\rightarrow$Símbolo de Christoffel$\rightarrow$Desviación Geodésica.

No estoy seguro de que se haya querido decir nada más.

La relación entre la métrica y el potencial gravitacional (y entre los símbolos de Christoffel y la aceleración) es evidente en el límite newtoniano de la Relatividad General. Los supuestos básicos de esta aproximación son:

• Campo gravitatorio débil: la métrica$g_{\mu\nu}$difiere de la métrica de Minkowski$\eta_{\mu\nu}$solo una pequeña cantidad $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$
• Velocidades no relativistas: el tiempo propio de la partícula de prueba$\tau$es aproximadamente igual a la coordenada de tiempo$t$(Tiempo absoluto de Newton)
• Métrica estática: la derivada temporal de la métrica es cero.

En la ecuación geodésica, el único componente relevante de las cuatro velocidades es el componente temporal:

$$\frac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \Gamma^\mu_{00} \left(\frac{dt}{ds}\right)^2 = 0$$ Los símbolos de Christoffel que necesitamos son: $$\Gamma^\mu_{00} = \frac{1}{2} g^{\mu\lambda} (g_{\lambda 0,0}+g_{0\lambda,0}- g_{00,\lambda})= -\frac{1}{2} g^{\mu\lambda} g_{00,\lambda} \approx -\frac{1}{2} \eta^{\mu\lambda} h_{00,\lambda}$$ Por lo tanto, la ecuación geodésica dice: $$\frac{d^2 x^\mu}{ds^2} -\frac{1}{2}\eta^{\mu\lambda} h_{00,\lambda}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2 = 0$$ Dado que la métrica es estática, la $\mu=0$componente de la ecuación es simplemente $$\frac{d^2t }{ds^2}=0$$ mientras que para los componentes espaciales, si dividimos por $\left(\frac{d t}{ds}\right)^2$: $$\frac{d^2 x^i}{dt^2} = \frac{1}{2}h_{00,i}$$ Si comparamos esta ecuación con su análogo newtoniano $$\vec{a}=\vec{g}=-\vec{\nabla}\Phi$$ entonces es natural identificar el componente [00 de la] métrica con el potencial gravitatorio newtoniano $$\Phi = -\frac{1}{2}h_{00}$$

Podemos obtener más información si observamos la ecuación de campo de Einstein. Usaremos la versión de seguimiento invertido

$$R_{\mu\nu} = 8\pi G ( T_{\mu\nu}-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}T)$$ dónde $T_{\mu\nu}$es el tensor energía-momento y $T$su huella. En nuestro entorno newtoniano, el único componente no despreciable es $T_{00}=- T =\rho$debido a la densidad de masa. $$R_{00}=4\pi G\rho$$ Si calcula el tensor de Ricci (queda como ejercicio para el lector) obtiene $$R_{00} = -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}= 4\pi G\rho$$ Y si usamos la ecuación anterior para el potencial, recuperamos la ecuación de Poisson: $$\nabla^2 \Phi= 4\pi G \rho$$

Como conclusión, podemos pensar en la ecuación de Einstein como una versión relativista mejorada de la ecuación de Poisson. La relatividad exige que la energía y el momento, además de la masa, causen la gravedad y, por lo tanto, el término fuente debe ser el tensor de energía-momento en lugar de la densidad de masa. Dado que la nueva ecuación tiene un tensor de segundo rango completo como fuente, entonces el "potencial" también será un tensor: la métrica. Por supuesto, este es un enfoque demasiado simplista de la relatividad general, pero tal vez sea un buen comienzo para llenar el vacío de la gravedad newtoniana.

Referencias

Albert Einstein: El significado de la relatividad (1923), conferencia IV. Disponible en Project Gutemberg
Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity (1997) arxiv:gr-qc/9712019

Aunque esta es una vieja pregunta y ha sido respondida satisfactoriamente, permítanme agregar un par de cosas que solo están tangencialmente relacionadas con la pregunta.

Todo esto de que la métrica es un "potencial" gravitacional y el símbolo de Christoffel es la "intensidad de campo" es solo una analogía.

La fuente de la analogía es exactamente lo que dijiste, la ecuación geodésica, en la que el símbolo de Christoffel parece una fuerza. Entonces la métrica es el potencial porque construyes el símbolo de Christoffel a partir de las derivadas de la métrica.

Sin embargo, si tiene distinto de cero$F$en electrodinámica (la forma 2 de la fuerza del campo), entonces tiene un campo EM efectivo. Por otro lado, puede tener un símbolo de Christoffel distinto de cero y aún no tener campos de gravitación; todo lo que necesita es introducir sistemas de coordenadas curvas en un espacio plano.

E incluso si tiene curvatura, aún puede hacer que el símbolo de Christoffel desaparezca a lo largo de una geodésica (coordenadas normales de Fermi).

Esto proviene del hecho de que el símbolo de Christoffel es parte de la conexión Levi-Civita, que no es un campo tensorial, y ambos fenómenos extraños tienen un significado físico adjunto, es decir, puede tener un símbolo de Christoffel distinto de cero en espacio plano, porque si elige un sistema de coordenadas curvas y sigue las curvas de coordenadas, entonces, dado que no son geodésicas, tendrá que experimentar aceleración (fuerza) para mantenerse a lo largo de ellas, y puede tener un símbolo de Christoffel que se desvanece a lo largo de una geodésica, ya que si te mueves a lo largo de una geodésica, estás en caída libre y, por lo tanto, no experimentas aceleración (fuerza).

La única parte de la gravedad, que no se puede transformar, es la falta de homogeneidad en la gravedad, p. aceleración relativa de las geodésicas, que se rige por el tensor de Riemann. Básicamente tienes curvatura y, por lo tanto, gravedad, si el tensor de Riemann es distinto de cero. Entonces, a este respecto, sería más natural ver el tensor de Riemann como la fuerza del campo gravitatorio y luego el símbolo de Christoffel como el potencial.

Pero el significado del tensor de Riemann se corresponde más con el tensor de fuerza de marea en la gravedad newtoniana que con la aceleración gravitatoria.

Un formalismo teórico de calibre de la gravedad también implica el último caso. En las teorías de calibre, los campos corresponden a conexiones en un principal$G$-haz, siendo los potenciales las formas de conexión 1 y las intensidades de campo las formas de curvatura 2 asociadas con la conexión. Para GR, el grupo de estructura es$\mathrm{SO}(1,3)$, actuando sobre el haz de marcos ortonormales de$TM$, y para estos el$\mathfrak{so}(1,3)$La forma 1 de la conexión valorada es exactamente el símbolo de Christoffel (cuando se representa en un marco ortonormal, en lugar de un marco de coordenadas holonómico), mientras que la forma 2 de la curvatura es el tensor de Riemann, lo que una vez más implica que la intensidad del campo es el Tensor de Riemann.

En formulaciones de gravedad afines a la métrica, el tensor métrico$g_{\mu\nu}$es un potencial gravitacional válido que es independiente de la conexión afín. El tensor de nometricidad$Q_{\rho\mu\nu}$es la intensidad del campo gravitacional del tensor métrico:

$Q_{\rho\mu\nu} = \nabla_\rho g_{\mu\nu}$.

Los primeros capítulos aquí tienen una buena introducción a la gravedad afín a la métrica: https://arxiv.org/abs/1902.09643

Este documento encuentra buenas dinámicas de la gravedad afín a la métrica: https://arxiv.org/abs/1912.01023

El Lagrangiano de 28 parámetros anterior incluye el teleparalelo simétrico equivalente a la relatividad general. En este sentido, se podría argumentar que la relatividad general admite una formulación con la métrica como potencial gravitacional. Sin embargo, es importante comprender primero la relación de la métrica con la conexión Levi-Civita en la formulación de la relatividad general de 1915, que es una parte de la conexión afín más general y es el potencial gravitatorio más natural, como han mencionado otras respuestas. . https://arxiv.org/abs/1903.06830

En formulaciones afines a la métrica, el tensor métrico es un tipo de campo gravitatorio de Higgs. Véanse los trabajos de Trautman de 1979-1980, por ejemplo, Fiber bundles, gauge fields, and gravitation, págs. 287–308 en: General Relativity and Gravitation, vol. yo, ed. por A. Held, Plenum, Nueva York, 1980. http://trautman.fuw.edu.pl/publications/scientific-articles.html