¿Por qué importa el signo en el método de Newton?

La derivación no asume$x_1$se encuentra a la derecha de$x_0$. la aproximación$x_{k + 1}$generada a partir del método de Newton es la raíz de la recta tangente en la aproximación anterior$x_k$:

La falla es que, matemáticamente, no hay razón para suponer que cambiar el signo seguirá funcionando. Hay tres formas (que yo sepa) de pensar en Newton-Raphson; la primera es que es un caso especial de los métodos del Amo de casa , pero esto quizás sea un poco complicado.

El segundo, y el más relevante para apreciar el signo, es la forma en que me lo expliqué intuitivamente hace algún tiempo: imagina un gráfico de una función real unidimensional. Supongamos que estamos en algún punto distinto de cero, de derivada distinta de cero, y que la función es continuamente diferenciable. Hay cuatro casos: somos mayores que cero y la gráfica es creciente, somos mayores que cero y decrecientes, somos menores que cero y crecientes, somos menores que cero y decrecientes. En todos los casos, asuma una buena función en la que nuestras extrapolaciones sean razonablemente precisas; consulte la nota en la parte inferior sobre por qué el método de Newton está lejos de ser perfecto. Examina el cociente en el primer caso:$f(x)\gt0$, y$f'(x)\gt0$, entonces el cociente es positivo. Por lo tanto, el signo negativo es necesario ya que queremos disminuir , y la gráfica aumenta donde estamos, por lo que damos un paso hacia atrás. Haré un caso más, echa un vistazo al resto. Veamos el caso 3: menor que cero y la gráfica es creciente.$f(x)\lt 0,f'(x)\gt0$, entonces el cociente es negativo. Estamos por debajo de cero, por debajo de cualquier raíz, pero dado que la gráfica está aumentando, es razonable suponer que un paso a la derecha nos acercará a cualquier raíz. Aquí el signo negativo sigue siendo esencial; damos un paso de dirección negativo negativo = positivo, y nos movemos a lo largo de la$x$eje hacia una raíz.

No relacionado con el signo, pero tenga en cuenta también que el método es bueno en un sentido diferente: cuando la derivada es pequeña, esperamos que necesitemos pasos más grandes para llegar a una raíz; la división por la derivada asegura pasos más grandes para las derivadas pequeñas. Cuando el valor de$f$es pequeño, es decir, estamos (con suerte) cerca de una raíz, el cociente también es pequeño ya que solo necesitamos un pequeño paso para lograr nuestro objetivo (¡en un mundo ideal!). Así es como recordar en qué dirección está el cociente.

La tercera forma es como responde CheeHan; examinas la aproximación tangencial y obtienes la expresión.

De todos modos, falla más a menudo cuando usa un signo positivo porque ¡usar un signo positivo simplemente no tiene sentido! El signo negativo es necesario para avanzar siempre hacia cualquier posible cero. Recuerdo estar confundido por los signos negativos cuando aprendí sobre algoritmos de descenso de gradiente, en múltiples variables: el principio es el mismo. Solo piense en sus diferentes casos y adónde debe ir. El signo negativo te ayuda a llegar allí.

NB A menudo, en mi justificación del método, nos dimos cuenta de los problemas de que era simplemente de primer orden. El hecho de que la gráfica esté aumentando aquí no significa que seguirá aumentando, y el hecho de que estemos cerca de cero no significa que estemos cerca de una raíz. Vea el método de Halley para una iteración más complicada pero más confiable. Por supuesto, también fallará cuando la derivada sea cero, lo cual es un problema si necesitamos iterar alrededor de un punto de inflexión.

Agradezco su pregunta, porque está considerando/recuperando cosas de la forma en que lo estaba haciendo el propio Newton. Es decir con una intuición geométrica, considerando (como aquí) diferentes casos antes de establecer una regla general.

Consideremos los dos casos:

En el caso de la izquierda, escribiendo la identidad de pendientes:

En la figura de la derecha, su pauta debe ser mantener un razonamiento sobre cantidades positivas ; como, en este caso, la pendiente$f'(x)$es negativa, debes escribir la identidad entre las pendientes de esta forma:

(el signo negativo delante de$f'(x_0)$invierte el signo negativo de$f'(x_0)$para obtener una cantidad positiva).

Observación:

Me acabo de dar cuenta de que mi explicación está conectada a la segunda explicación en la interesante respuesta de @FShrike; en particular, necesitaríamos de hecho considerar otros 2 casos particulares relacionados con el$f(x_0) < 0$casos, que también se considera en la respuesta de FShrike.

En conclusión, como se indica en las otras respuestas, es mejor no tener que lidiar con casos particulares y confiar en la "generalidad del álgebra" .