Cómo el concepto de límite nos permite pasar de las secantes a las tangentes

Entonces, repasemos la definición de recta secante, la definición de recta tangente y la definición de derivada:

Una recta secante a una curva es una recta que corta a la curva en dos puntos distintos.

La derivada de una función$f(x)$en el punto$a$, denotado$f'(a),$se define como el límite

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$ siempre que exista este límite.

Una recta tangente a una curva$f(x)$en un punto$a$, si existe, se define como esa línea con pendiente$f'(a)$pasando por el punto$(a, f(a)).$

(Nota al margen: una línea tangente definitivamente NO es una línea que interseca una curva en un solo lugar. Esta es una definición común, pero equivocada, de la línea tangente que se encuentra a menudo en los libros de texto de geometría de la escuela secundaria y es incorrecta en general, aunque es cierto para secciones cónicas como círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. Es mejor pensar en líneas tangentes en términos de la derivada).

En primer lugar, observe que la derivada se define como un límite . Entonces, para que exista la derivada, tiene que existir el límite. Hay varias formas en que un límite en general puede dejar de existir (límites de mano derecha e izquierda no iguales, infinitos, etc.), y hay formas adicionales en las que un límite de tipo derivado puede dejar de existir. Por ejemplo, si bien esto no es suficiente para que exista la derivada, la función debe ser continua en$a$. Eso significa$\lim_{x\to a}f(x)=f(a),$una afirmación que dice tres cosas no triviales: 1. El límite existe. 2.$f(a)$se define. 3. El límite es igual al valor de la función. Cualquiera de esos puede fallar. Además, podría tener, digamos, una esquina en$a$. La función$f(x)=|x|$tiene una esquina en$a=0$. Mientras que la función es continua allí,

$$1=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{|x|-|0|}{x-0}\not=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|-|0|}{x-0}=-1.$$ La función$f(x)=|x|$por lo tanto no es diferenciable en$x=0,$porque el límite requerido no existe. Geométricamente, piense en la esquina de esta manera: ¿qué valor único podría asignar a la "pendiente" de$|x|$en$x=0?$Podría dibujar cualquier número de candidatos. Lo que dice la definición de límite es que debe poder encontrar un valor único para la pendiente en un punto, para que la función sea diferenciable en ese punto.

En cuanto a la relación entre las rectas secantes y las rectas tangentes, observe que la pendiente de la recta secante a$f$en los puntos$x$y$a$es dado por

$$m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ La pendiente de la recta tangente a$f(x)$en$x=a$se define como el límite de las pendientes de la línea secante. Puedes imaginar, geométricamente, que estás dejando que el punto$x$acercarse arbitrariamente a$a$. En el límite, obtienes la línea tangente (siempre que exista el límite).