Del razonamiento detrás del teorema del valor medio

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Del razonamiento detrás del teorema del valor medio

limites
análisis
cálculo
derivados
Matemáticas
análisis real

Barbatulka

He estado tratando de comprender el razonamiento detrás de la formulación del teorema del valor medio:

Si $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[x_1;x_2]$ y diferenciable en cada punto del intervalo abierto $(x_1;x_2)$ , entonces hay al menos un punto $\xi \in (x_1;x_2)$ tal que

\frac{F (X_{2}) - F (X_{1})}{X_{2} - X_{1}} = F^{'} (ξ)

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f’(\xi)$

Lo que no puedo entender es por qué decimos eso. $f(x)$ no es necesariamente diferenciable en los puntos finales $x_1$ y $x_2$ del intervalo Tampoco puedo entender completamente el valor general de la premisa de que la función es continua en esos puntos; porque entiendo que si una función posee una discontinuidad infinita o una discontinuidad de ese tipo cuando el valor de la función no coincide con su valor límite en ese punto, pero simplemente no puedo imaginar un ejemplo singular para el MVT que no se mantenga como la función no posee un límite definido en los puntos finales.

¡Gracias!

Editar: he notado que mi pregunta es un poco complicada, así que la he reformulado un poco:

Considere una función que es continua en todo el intervalo $[x_1;x_2]$ excepto por al menos uno de los puntos finales (digamos, $x_1$ ), como la función, aunque definida en $x_1$ , no posee un límite definido a medida que se acerca $x_1$ (por ejemplo, la función $\sin\frac{1}{x}$ como $x \to 0$ ). ¿Existe una función del tipo mencionado, para la cual MVT no se cumple?

Mateo torres

La pregunta es difícil de seguir, pero creo que podría ser, al menos parcialmente, un engaño de math.stackexchange.com/questions/843924/…

Randall

Piensa en la mitad superior de un círculo.

Barbatulka

No, la pregunta no es sobre eso en absoluto. Considere una función que es continua en todo el intervalo

[x_{1}; x_{2}]

$[x_1;x_2]$ excepto por al menos uno de los puntos finales (digamos,

x_{1}

$x_1$ ), como la función, aunque definida en

x_{1}

$x_1$ , no posee un límite definido a medida que se acerca

x_{1}

$x_1$ (por ejemplo, la función

\sin \frac{1}{x}

$\sin\frac{1}{x}$ como

x \to 0

$x \to 0$ ). ¿Existe una función del tipo mencionado, para la cual MVT no se cumple?

Randall

Por supuesto: los ejemplos no son difíciles de fabricar.

Barbatulka

@Randall Ok, si lo son, ¿cuál es al menos uno de ellos?

Respuestas (3)

Del razonamiento detrás del teorema del valor medio

La pregunta es difícil de seguir, pero creo que podría ser, al menos parcialmente, un engaño de math.stackexchange.com/questions/843924/…
No, la pregunta no es sobre eso en absoluto. Considere una función que es continua en todo el intervalo $[x_1;x_2]$ excepto por al menos uno de los puntos finales (digamos, $x_1$ ), como la función, aunque definida en $x_1$ , no posee un límite definido a medida que se acerca $x_1$ (por ejemplo, la función $\sin\frac{1}{x}$ como $x \to 0$ ). ¿Existe una función del tipo mencionado, para la cual MVT no se cumple?

Randall · Answer 1

Aunque la pregunta es un poco confusa, creo que este es un ejemplo de lo que estás preguntando. Definir $f$ en $[0,1]$ por

F (X) = {\begin{cases} 0, & X = 0 \\ \frac{1}{X}, & 0 < X \leq 1. \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} 0, & x=0\\ \frac{1}{x}, & 0 < x \leq 1.\end{cases}$ Esta función, aunque definida en

x = 0

$x=0$ , no tiene límite a medida que te acercas

0

$0$ gracias a la asíntota vertical. es continua en

(0, 1]

$(0,1]$ .

La pendiente de la secante es

\frac{F (1) - F (0)}{1 - 0} = 1

$\frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1$ sin embargo, la derivada de

(0, 1)

$(0,1)$ es

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f'(x) = - \frac{1}{x^2}$ . Claramente esto nunca puede igualar

1

$1$ .

Tenga en cuenta que pude crear este ejemplo artificial exactamente porque estoy violando la continuidad en uno de los extremos.

Umberto P. · Answer 2

El requisito de que $f$ es diferenciable solo en el interior proviene del Teorema de Rolle: si $f(x_1) = f(x_2) = 0$ entonces a menos que $f$ es idénticamente cero (en cuyo caso $f'(x) = 0$ para todos $x$ en el intervalo) $f$ debe alcanzar un valor extremo distinto de cero en algún lugar del interior del intervalo. Todo lo que se requiere para la conclusión del teorema de Rolle es que $f'(x)$ existe para todos $x$ en el interior, no en los extremos.

En cuanto a la continuidad, considere $f(x) = 1$ si $x = 0$ y $f(x) = x^2$ si $0 < x \le 1$ . Entonces $f$ se define en $[0,1]$ y es diferenciable en cada punto de $(0,1)$ , pero no tiene sentido $x \in (0,1)$ satisfactorio $\displaystyle \frac{f(1) - f(0)}{1-0} = f'(x)$ .

Taladris · Answer 3

Solicitó un ejemplo de una función donde el límite no existe en un punto final. Incluso si existe el límite pero la función no es continua en un punto final, el MVT falla.

Considere por ejemplo $f(x)=x$ si $x\in(0,1]$ y $f(0)=1$ . Entonces $f$ es continua en $(0,1]$ , es discontinua en $0$ , es diferenciable en $(0,1)$ pero $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=0$ mientras $f'(x)=1$ para cada $x\in(0,1)$ .

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Barbatulka

Mateo torres

Randall

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Randall

Barbatulka

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Randall

Umberto P.

Taladris

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

Definición de diferenciabilidad y derivada

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

Enfoque alternativo a la derivada

Epsilon Delta definición de un derivado

Diferente definición de continuidad.

¿La función es derivable?

Encontrar la derivada de una función usando primeros principios

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?