¿Por qué la derivada en un punto se dibuja como una recta tangente?

Tomemos una parábola y = X 2 . Tomemos su derivada para X = 1 :ingrese la descripción de la imagen aquí

Tomamos la derivada de y = X 2 , y encuentre que a medida que el valor de x en la parábola se aproxima X = 1 la derivada es 2 límite h → 0 = 2 en el punto X = 1 en la parábola.

Mi pregunta aquí es por qué una vez que encontramos la derivada, dibujamos una línea con esa pendiente, sobre ese punto. Una vez que encontramos la derivada de X = 1 , dibujamos una línea con pendiente 2 sobre (1,1).

Pero esto no tiene sentido para mí por 2 razones:

  1. ¿La derivada no es la pendiente en un punto, sino la pendiente entre 2 puntos cuando un punto se acerca arbitrariamente a otro? Entonces, dado que fundamentalmente requiere 2 puntos para hacerlo, ¿cómo podemos dibujar una línea con esa pendiente sobre 1 punto? Si hubiera una pendiente en el punto único, daría como resultado el denominador 0, ¡lo que llevaría a un resultado indefinido!

  2. ¿Cómo podemos suponer que la pendiente en el punto es 2, porque la derivada como X + h enfoques X es 2? Solo porque la pendiente se acerca cada vez más a 2 a medida que X + h se acerca arbitrariamente a X no significa la pendiente en X en realidad va a ser 2!

Entonces, con todo esto, ¿alguien puede explicarme cómo podemos seguir dibujando líneas tangentes que tienen la pendiente dada por la derivada en un punto dado? ¿Cómo podemos hacerlo cuando:

  1. La derivada no da la pendiente en un punto, sino la pendiente entre 2 puntos X y X + h cuando h es arbitrariamente pequeño. Si hubiera una pendiente en el punto único, daría como resultado el denominador 0, ¡lo que llevaría a un resultado indefinido!

  2. ¿Cómo podemos suponer que la pendiente en el punto es 2, porque la derivada como X + h enfoques X es 2? Solo porque la pendiente se acerca cada vez más a 2 a medida que X + h se acerca arbitrariamente a x no significa que la pendiente en X en realidad va a ser 2!

¡Muchas gracias! Por cierto, ¿puedes intentar dar la explicación sin pruebas épsilon delta, y solo al nivel de alguien que está aprendiendo cálculo de Khan Academy?

¿Las respuestas cortas? Así se definen las derivadas , usando límites, y así evitamos las frustraciones que provoca la "división por cero". ¿Por qué lo hacemos? Porque es increíblemente útil hacerlo.
"¿Por qué la derivada en un punto se dibuja como una línea tangente?" Es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Espera, pero ¿la derivada no es la pendiente de (f(x)-f(x+h))/x-(x+h) cuando h se acerca a 0? Entonces, ¿cómo es la pendiente de la recta tangente en ese punto? es la línea entre x y (x+h) cuando h se acerca a 0?
Lo animo a que escuche a Herb Gross explicar este concepto en este video en la marca de tiempo proporcionada y, si tiene tiempo, lo animo a ver la serie completa de videos. Debería ser un excelente material complementario para cualquier curso que esté tomando, o incluso un buen reemplazo para cualquier curso que esté tomando.
@JMoravitz Está bien, lo haré. Pero, ¿el video da la explicación de mi problema sin usar pruebas de epsilon delta? Todavía lo veré si no tiene eso, pero haría las cosas mucho más fáciles si no lo tuviera. ¿Y también explica por qué la derivada funciona con un solo punto incluso si inevitablemente tienes que dividir por 0 para hacer eso?

Respuestas (3)

En el ejemplo anterior, puede negar su preocupación al mirarlo de una manera simplificada:

F ( X + h ) − F ( X ) X − ( X + h ) = X 2 + 2 X h + h 2 − X 2 h = 2 X + h

El límite de esto como h → 0 = 2 X .

Esperemos que esto al menos alivie su preocupación de dividir por 0.

Siempre que se trate de dos puntos, la pendiente es la pendiente de la secante, que no es la derivada.

La derivada en un punto se encuentra tomando el límite de la pendiente de la secante cuando el segundo punto se acerca al primero, de modo que la secante se acerca a la tangente.

Por lo tanto la derivada es la pendiente de la recta tangente y es un límite.

Estamos tomando el límite para dar sentido a lo que parece ser un 0 / 0 que no tiene sentido por sí mismo.

Cuando conduce a la velocidad de 75 , eso 75 es la velocidad instantánea, que significa la relación entre la distancia y el tiempo cuando tanto la distancia como el tiempo se acercan 0 en esa instancia.

Hay otras fórmulas para encontrar la derivada, por ejemplo yo i metro h -> 0 ( F ( X + h ) − F ( X − h ) ) / ( 2 h ) . Bajo esta conceptualización, elige dos puntos a cada lado del punto en el que desea la 'pendiente', que están a la misma distancia. La afirmación de que a medida que h se acerca 0 el límite se acerca a 2 (para y=f(x)=x^2, y x=1) significa que a medida que mueve los dos puntos a cada lado más cerca, la pendiente entre ellos se acerca más y más al 'límite' . yo i metro h -> 0 ( F ( X + h ) − F ( X − h ) ) / ( 2 h ) = yo i metro h -> 0 ( ( X + h ) 2 − ( X − h ) 2 ) / ( 2 h ) =

yo i metro h -> 0 ( X 2 + 2 X h + h 2 − ( X 2 − 2 X h + h 2 ) ) / ( 2 h ) = yo i metro h -> 0 ( 4 X h ) / ( 2 h ) =

yo i metro h -> 0 2 X = 2 X

El punto de decir el límite cuando h se acerca a cero de 4xh/h = 2x es porque 'si no puedes dividir por cero' entonces obviamente esta ecuación no está definida en cero. Pero si tiene una función, y esa función 'parece que falta un punto', digamos en x=4, y parece que debería ser 3, entonces parece razonable extender la función para incluir ese punto, o decir que el límite cuando x tiende a 4, de y, es 3.

¿Cómo podemos suponer que la pendiente en el punto es 2, porque la derivada cuando x+h tiende a x es 2? ¡El hecho de que la pendiente se acerque cada vez más a 2 a medida que x+h se acerca arbitrariamente a x no significa que la pendiente en x vaya a ser 2!

En la medida en que el límite se trata de cuál sería la pendiente si h fuera cero, dado que 4xh/(2h)=2x para todos los x distintos de cero, entonces ¿por qué no debería ser igual a 2x cuando h es igual a cero? Si vas en la otra dirección, 2x=4xh/(2h), entonces estás eliminando un punto en lugar de agregar uno. Es cierto que algunos límites no se tratan de esto. El límite como x->infinito (o 'aumenta sin límite') de 1/x = 0 contrasta con el hecho de que no hay valor de x para el cual 1/x=0.

¿Por qué la derivada en un punto se dibuja como una recta tangente?
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