¿Son infinitas las fuerzas de restricción?

Muchos autores afirman que las restricciones mecánicas son idealizaciones obtenidas al permitir que las fuerzas de aplicación sean infinitas. Pero no estoy de acuerdo o no sé lo que significan. El único caso en el que encontraría que es cierto es que estas fuerzas fueran impulsivas, es decir, la velocidad cambiaría abruptamente a través de los impulsos delta de Dirac.

Por otro lado, todos los libros de texto presentan una teoría en la que las fuerzas de restricción siempre están acotadas y suaves (ya sea como multiplicadores de Lagrange o como el límite de un potencial muy fuerte). Esto me hace pensar que nunca pueden ser infinitos y que no hay razón para que sean infinitos. La única posibilidad que veo es que solo la rigidez del potencial de la fuerza llegue al infinito (al mismo tiempo que se supone que las violaciones/oscilaciones de las restricciones son pequeñas).

¿Qué vista es la correcta? Y también, ¿habría alguna amortiguación involucrada?

Respuestas (5)

OP ya parece haber pensado mucho sobre esto y hace buenos puntos. En esta respuesta, revisaremos el argumento de por qué las fuerzas de restricción podrían ser infinitas.

Asumiremos que OP habla de holonómico 1 restricciones _ Para ser concretos, dejemos que la restricción sea que alguna coordenada generalizada desaparezca

q   ≈   0.
Podemos implementar la restricción

  1. idealmente a través de un término multiplicador de Lagrange 2

    (1) L 1   =   L 0 + λ q ,
    donde la fuerza de restricción se puede identificar con el multiplicador de Lagrange λ ;

  2. o pragmáticamente a través de un potencial de resorte rígido

    (2) L 2   =   L 0 − k 2 q 2 ,
    donde la constante de resorte k es muy grande.

Si mi denota una energía característica disponible para el sistema, es razonable esperar

k 2 q 2   ≲   mi ,
o
| q |   ≲   O ( k − 1 / 2 ) .
Por lo tanto, la fuerza del resorte
| F |   =   | − k q |   ≲   O ( k 1 / 2 )   →   ∞ F o r k   →   ∞ .
En otras palabras, la fuerza del resorte F podría ser muy grande, y sin límites desde arriba como k → ∞ . Por supuesto, puede que no sea grande en todo momento. Por ejemplo, podría haber un patrón oscilatorio.

En particular, si uno identifica la fuerza del resorte F en el modelo 2 con la fuerza de restricción λ en el modelo 1, se puede argumentar que el (valor absoluto de) este último podría ser muy grande, cf. Pregunta del título del OP.

  1. Podemos unificar el modelo 1 y 2 a través del Lagrangiano

    (3) L 3   =   L 0 + λ 2 2 k + λ q .
    La MOE para λ es
    λ   ≈   − k q .

    • Por un lado

      límite k → ∞ L 3   =   L 1 .

    • Por otro lado, para finitos k > 0 , si integramos fuera/eliminamos λ de L 3 a través de su EOM, obtenemos exactamente L 2 .

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1 Las restricciones semi-holonómicas son bastante sutiles, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

2 el lagrangiano L 0 podría en principio contener muchos grados de libertad, es decir, depender de muchas coordenadas generalizadas. Supondremos que el sistema tiene al menos 1 coordenada más que q , por lo que el sistema no es trivial.

Si usted tiene L 0 = T − V , entonces escribiría una energía característica como mi ∼ H = T + V . A mí me parece que necesitarías k q 2 / 2 >> mi , de lo contrario, la cantidad de energía en el sistema excitaría el oscilador armónico y no se aplicaría la restricción. ¿Cómo concluyes que k q 2 / 2 ≤ mi ?
Puede haber oscilaciones, el punto es limitar su amplitud.
Hola @Joe, grabé tus ediciones para que las tengamos, pero todavía no estoy convencido de que tu argumento mejorado sea necesario.
Bueno, creo que te estás perdiendo el paso de dividir la energía en la parte restringida y restringida, pero es tu respuesta lo suficientemente justa. Es un buen argumento de cualquier manera, no lo he visto antes.
Esto es lo que estoy tratando de decir; Es importante destacar que hay dos escalas de energía características. mi 0 caracteriza el movimiento dentro de la superficie de restricción q = 0 , y mi caracteriza el movimiento dentro de todo el espacio de fase. Nosotros necesitamos mi 0 << mi para k q 2 / 2 para actuar como una restricción. Tuve que averiguar a qué te referías cuando leí tu respuesta porque no diferencia entre las dos escalas, así que... mi denota una energía característica' no estaba claro para mí.
@Qmechanic Gracias por la respuesta. ¿No es la solución para k q 2 / 2 siempre un oscilador armónico? Incluso si k va al infinito, ¿no permanecerían acotadas las oscilaciones para una energía finita? mi ? Me imagino que la amplitud de las oscilaciones cuyo orden está tratando de estimar solo depende de las condiciones iniciales y qué tan lejos están de la variedad de restricciones y, en última instancia, la energía total mi en el espacio de la fase de incrustación. Entonces, tal vez me estoy perdiendo algo, pero no creo que sea razonable asumir q ∼ k 1 / 2 .
Mi principal problema con esto es que aunque parece que el gradiente de la función potencial parece ir al infinito (como para una "pared"), la aceleración no lo hace (como una función trigonométrica periódica, incluso si la frecuencia tiende al infinito) . Además, cuando estás multiplicando un número muy grande k con q que puede ser cero, obtienes algún tipo de "bien" muy empinado para cuando se cumple la restricción. Entonces, el potencial no es infinito en todas partes. De alguna manera, por metro = ¨ − k q Yo diría que la fuerza se mantiene finita.
Bueno, es una cuestión de límites. Actualicé la respuesta.
Lo siento, pero sigo sin verlo. Me equivoqué con las aceleraciones y las velocidades, van al infinito con k , pero al menos las oscilaciones permanecen acotadas. Pero lo veo más como una alternancia de picos de Dirac delta positivos y negativos, de modo que la línea promedio de equilibrio todavía tiene sentido. Sino no veo como L 3 tiende a L 1 sin k q tener algún tipo de convergencia hacia λ . Y λ es un valor finito proveniente de la condición algebraica y probablemente el promedio de la fuerza de oscilación.
1. ¿Qué es MOE? (no podría ser una ecuación de movimiento, ¿verdad?) 2. ¿Y hay un nombre especial para el tercer lagrangiano? Me gustaría buscarlo en línea. ¡Gracias!
1. EOM=ecuación de movimiento.

Creo que no hay una respuesta única a esta pregunta; depende de las circunstancias. Si tiene una región tridimensional del espacio, con una esfera sentada en ella, por ejemplo, entonces podría tener una partícula cuyo movimiento está restringido a permanecer en la superficie de la esfera. Al establecer la mecánica lagrangiana para este caso, no es necesario invocar ninguna noción de fuerza; puede tratarlo como una restricción. Pero si luego pregunta qué tipo de fuerza resultaría en el mismo movimiento, entonces es un tipo de fuerza de "pared dura", que se eleva al infinito tan pronto como la posición de la partícula se aleja de la superficie de la esfera.

También se podría notar que comúnmente hacemos mecánica en un espacio tridimensional, y se podría decir que las partículas estaban 'restringidas' para permanecer en el espacio 3D y no deambular hacia una cuarta dimensión. En este caso, se trata de un problema físico en el que simplemente no existe una cuarta dimensión espacial. Por lo tanto, normalmente no lo llamaríamos restricción, pero matemáticamente hablando tiene el mismo efecto que una restricción.

En general, creo que la respuesta es que algunos casos en los que invocamos una restricción es una forma conveniente de manejar lo que realmente es el resultado de una fuerza, y otros casos no lo son.

Mi problema con la forma en que estas fuerzas se elevan al infinito tan pronto como te alejas de la variedad de restricciones. Porque la fuerza de restricción dada por los multiplicadores de Lagrange no tiende al infinito: es finita y suficiente para mantener el movimiento en la subvariedad. No tengo ningún problema con las restricciones como idealizaciones, me gustan tanto como las construcciones matemáticas, aunque este artículo arruinó mis esperanzas de que fueran algo demasiado fundamental: aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.13647
@zetzar, ¿qué quiere decir con "que sean algo demasiado fundamental"?
@Cheng Fundamental como en fuerzas fundamentales. Por lo general, las restricciones son el resultado de fuerzas muy rígidas, como las fuerzas intermoleculares. Hubo un tiempo en que soñaba despierto que las restricciones son en realidad de naturaleza más fundamental, que existen antes que las fuerzas, y no el resultado de ellas. Como moverse en un círculo en el espacio 2D. Básicamente, la mecánica lagrangiana sobre variedades no es una idealización, pero así es como funciona realmente la naturaleza en algunos niveles. Pero probablemente esté mal y no lo he pensado en mucho tiempo.

En la práctica, por supuesto, tiene razón, sin embargo, permitir fuerzas infinitas es la forma más fácil de cumplir con precisión las restricciones.

Como se argumenta en la respuesta de Qmechanics , en la práctica, la energía es limitada, entonces cuanto más rígido hace que el resorte sea constante, menos desviación máxima obtiene de las restricciones exactas. La idea es que luego puedas calcular la dinámica para cualquier finito k , obtener el límite k → ∞ , y allí las desviaciones tenderán a cero pero las fuerzas máximas seguirán siendo finitas. En otras palabras, podría reemplazar el k 2 q 2 potencial con una versión tapada, máximo { mi , k 2 q 2 } o algo suave como mi ⋅ bronceado ⁡ ( k 2 mi q 2 ) . Sin embargo , eso en realidad no es suficiente para garantizar que las fuerzas permanecerán limitadas.

Un ejemplo en el que obtienes fuerzas infinitas es una partícula restringida a un rastro

q ∈ { ( X , y ) : y = pecado ⁡ ( Exp ⁡ ( X ) ) }
sin otras fuerzas. A medida que la partícula viaja hacia la derecha, pasará cada y -máximo con el mismo X -velocidad debida a la conservación de la energía cinética. Pero ahí tiene un y -aceleración ∝ − Exp ⁡ ( X ) , que crece sin límites.

Animación de movimiento restringido con fuerza divergente

(Aplicación del mundo real: un tren de alta velocidad rodando hacia una esquina cerrada sin frenar primero no se salvará por el hecho de que los rieles son restricciones casi perfectas).

Para obtener un límite en la fuerza máxima, lo que necesita es un límite en la curvatura de la variedad de restricciones, además de un límite en la energía.

Ese es un buen punto de que la curvatura de la restricción juega un papel. Y eso está realmente contenido en el formalismo de Lagrange: los multiplicadores de Lagrange siempre se opondrán a las fuerzas de inercia. Pero yo diría que es un caso extremo. Estaba hablando de restricciones de buen comportamiento como un círculo.
No estoy seguro de seguir su argumento de energía, pero creo que estamos de acuerdo en que para una energía total máxima y finita mi las fuerzas y los desplazamientos también serán finitos. Las fuerzas pueden parecer picos, pero no estoy seguro de que califiquen como funciones delta de Dirac, y eso sería lo más cercano a una fuerza infinita que puedo imaginar.
Se acercan a las púas de Dirac, sí. Es como una canica perfectamente rígida pero elástica que rebota sobre una superficie de piedra dura. Un ejemplo algo menos artificial que hace esto con una restricción holonómica es un canal de fondo redondo y la gravedad que se vuelve cada vez más puntiaguda en forma de V. Pero incluso podrías haber sostenido fuerzas infinitas, con algún embudo que se vuelve cada vez más estrecho. Seguro que puedes llamar a todos estos "casos extremos", pero... bueno, literalmente. Y los bordes y las superficies duras no son de ninguna manera un experimento mental teórico tonto, sino la mejor manera de modelar muchos problemas de ingeniería.
¿De dónde sacaste esa simulación? ¿Tiene alguna guía para hacer tales simulaciones? ¡Gracias!
@Cheng Parece que no conservé el código fuente para esa simulación en particular. Es bastante fácil, porque la velocidad es constante, por lo que solo necesita parametrizar la curva por longitud de ruta y luego moverse uniformemente a lo largo de esa ruta. No creo que la parametrización se pueda hacer analíticamente, pero numéricamente solo equivale a seguir y ( X ) iterativamente con un Δ X tal que ( Δ X ) 2 + ( y ( X ) − y ( X + Δ X ) ) 2 = h , que se puede aproximar por Taylor como Δ X = h 1 + ( y ′ ( X ) ) 2 . Eso sería como 5 líneas de Haskell.
... Sin embargo, esta forma discretizada no es excelente para calcular la aceleración, no estoy seguro si lo hice de esa manera.

Cuando simplifica su sistema de coordenadas con restricciones mecánicas, asume que:

  1. El sistema permanecerá en la ruta restringida; y
  2. No habrá energía almacenada en las restricciones.

A medida que una restricción mecánica real se vuelve más rígida, es decir, aumenta la magnitud de su fuerza de restauración en función de la desviación, se acerca más a este ideal, en el sentido de que debe aplicar una fuerza creciente para lograr una cierta desviación o para almacenar una cierta cantidad de energía. .

En el límite, la fuerza restauradora se aproxima al infinito y las suposiciones se mantienen siempre que las fuerzas contra las restricciones sean finitas.

Esto está cerca de lo que dijo @Qmechcanic, excepto que la idea clave es que ninguna fuerza finita podría almacenar energía en las restricciones, por lo que no puede haber oscilaciones contra las restricciones ni nada por el estilo.

Esto es física, por lo que la pregunta debería reducirse a lo que medirías en un experimento. ¿Qué vería si construyera un mecanismo restringido y colocara una celda de carga en el punto donde se aplica la fuerza de restricción? Las respuestas anteriores le brindan enfoques teóricos, señalando que una celda de carga es en realidad un resorte muy rígido con un medidor de tensión muy sensible. Si está haciendo física real y no problemas de libros de texto, debe construir el mecanismo y usarlo para probar sus resultados.

O tal vez, la pregunta debería ser si la idealización lo meterá en problemas y lo llevará a resultados poco realistas. Esto, por supuesto, afecta todas las aplicaciones del infinito matemático en la física. En general, es una pregunta difícil. Los libros de texto tienden a trazar los caminos a través del campo minado que necesitarás para resolver sus problemas, pero al final no sabes dónde están realmente las minas.

¿Son infinitas las fuerzas de restricción?
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