Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton y D'Alembert

El libro de Goldstein de Mecánica Clásica deriva las ecuaciones de Euler-Lagrange de dos principios diferentes:

  1. El principio de Hamilton establece que

d S = d ∫ t 1 t 2 L ( q i , q ˙ i , t ) d t = 0 ,

donde no hay condiciones L ( q i , q ˙ i , t ) parecen ser necesarios, y desde aquí se pueden obtener directamente las ecuaciones de Euler-Lagrange.

  1. El principio de D'Alembert (en términos de coordenadas generalizadas) establece que

∑ j { [ d d t ( ∂ T ∂ q ˙ j ) − ∂ T ∂ q j ] − q j } d q j = 0 ,

donde se debe considerar que la energía cinética T es una función cuadrática de las velocidades q ˙ j .

Para obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de este principio, también es necesario considerar que la fuerza generalizada q j es derivable de la función de energía potencial V , que debe ser una función dependiente únicamente de las coordenadas q j . La forma del Lagrangiano debe ser L = T − V en este caso.

  1. ¿Es el principio de Hamilton más poderoso en el sentido de que no impone restricciones a la forma del Lagrangiano? o falta alguna restricción?

  2. ¿Existe otra forma de derivar ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de D'Alembert sin restringir las formas de T , V y L ?

1ra pregunta: Sí, 2da pregunta: El principio de S'Alembert solo proporciona una justificación para el principio de Hamilton
Entonces, ¿el principio de Hamilton no requiere que las fuerzas de restricción no realicen un trabajo virtual?
@ bgr95 1) No. El principio de Hamilton en esa forma se cumple bajo las condiciones de 2) (que se especifica en el propio Goldstein).
pero no es este problema TRIVIAL? de hecho si pones un funcional L = T − V Obtienes la ecuación de movimiento, entonces, ¿por qué se llama principio de Hamilton si es una conclusión trivial de la ecuación de Euler-Lagrange para problemas variacionales? =

Respuestas (1)

I) En realidad, es al revés. Dentro del contexto de la mecánica newtoniana, la jerarquía es la siguiente de más a menos aplicable:

  1. Las leyes de Newton son siempre aplicables.

  2. Principio de D'Alembert o ecuaciones de Lagrange. Por ejemplo, la fricción por deslizamiento típicamente viola el principio de D'Alembert.

  3. El principio de acción estacionaria S = ∫ d t   L , con Lagrangiano L = T − tu , y sus ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ejemplo, una fuerza generalizada podría no tener un potencial generalizado tu .

II) En el punto 3 hemos asumido tácitamente que el Lagrangiano es de la forma

(1) L   =   T − tu ,
como es costumbre. T y tu en la ec. (1) puede verse como la representación del lado cinemático y dinámico de la segunda ley de Newton, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. La estructura lineal de la ec. (1) también refleja reglas de composición de tipo categórico sobre cómo construir modelos físicos a partir de subsistemas físicos.

Existen estrictamente excepciones a la forma (1), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE, pero estas excepciones a menudo carecen de reglas de composición de tipo categórico, lo que las hace inadecuadas para la construcción de modelos útiles.

III) Para obtener más detalles y discusiones, consulte, por ejemplo, mis respuestas Phys.SE relacionadas aquí , aquí y los enlaces allí.

No veo claro que, sobre la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange hecha por Goldstein, el principio de Hamilton requiera que la fuerza generalizada sea derivable de una función potencial. Afirma que el sistema debe ser monogénico ( F = − ∇ V ), pero no veo cómo esto realmente entra en la formulación...
Claro... el Lagrangiano siempre debe escribirse en términos de las energías (aunque no necesariamente L = T − V ). Si no puede escribir la fuerza como una función potencial, es imposible tener la propiedad covariante de la formulación lagrangiana (algo en términos de escalares únicamente). Ese es el punto, ¿verdad?
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