¿Cuál es la relación precisa entre una matriz Hessiana no invertible para el Lagrangiano y la presencia de una simetría de norma?

Estas condiciones no son equivalentes, solo bajo varios supuestos. Una buena referencia son los capítulos 1 y 3 de "Quantization of gauge system" de Henneaux y Teitelboim .

1. La definición "adecuada" de una teoría de calibre que no se basa explícitamente en un formalismo hamiltoniano ni en un lagrangiano es que las soluciones$q(t)$a las ecuaciones de movimiento contienen algunas funciones arbitrarias de tiempo, es decir, no están determinadas únicamente por las condiciones iniciales. Esta es la causa raíz de la noción de que "los grados de libertad de calibre son redundantes".

2. En el formalismo lagrangiano, las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Euler-Lagrange:

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = \ddot{q}^j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} + \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 \tag{1}$$ cuyos rendimientos $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \ddot{q}^j = - \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} + \frac{\partial L}{\partial q^i}\tag{2},$$ mostrando que las aceleraciones$\ddot{q}^j$están determinados por las velocidades y posiciones si y sólo si la matriz$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i}$no es degenerado. Por eso la condición $$\det\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \right) = 0\tag{3}$$ es la condición relevante para una teoría de norma lagrangiana. Tenga en cuenta que hasta ahora no hemos utilizado la noción de una "transformación de calibre" en absoluto.

3. Al pasar al formalismo hamiltoniano con momentos$p_i$, ecuación (3) se manifiesta como una serie de relaciones fuera de la cáscara$\phi_k(q,p) = 0$entre los momentos, llamados las restricciones primarias . A estos tenemos que añadir las restricciones secundarias on-shell obtenidas al imponer$\dot{\phi}_k = 0$. También los denotamos por$\phi_k$(y potencialmente a su vez generan restricciones terciarias, y así sucesivamente), ya que de todos modos eventualmente nos interesará el caso en el caparazón. Todas estas restricciones se dividen en dos clases más relevantes, llamadas creativamente de primera clase y de segunda clase:

   Una restricción de primera clase es aquella que conmuta Poisson con todas las demás restricciones, es decir$\{\phi_i,\phi_j\} = 0$para todos$j$. Los denotaremos como$\gamma_i$. Una restricción de segunda clase es aquella que no lo hace, las denotaremos como$\chi_i$.

4. Las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre: el hamiltoniano total cuyas ecuaciones de movimiento son equivalentes a las del sistema lagrangiano degenerado se puede escribir como

   $$H = H_0 + v^i \gamma_i,$$ dónde$H_0$es una función de primera clase y la$v^i$son funciones arbitrarias de tiempo, correspondientes a las funciones arbitrarias de nuestra definición al principio. Mirando un espacio de fase observable$f$a la vez$t + \delta t$y considerando dos opciones diferentes$v^i, v^i + \delta v^i$en el momento$t$, encontramos eso $$\delta f = \delta v^i\delta t \{f,\gamma_i\},\tag{4}$$ pero esta elección no debería hacer ninguna diferencia ya que el$v^i$fueron arbitrarios para empezar! Por lo tanto la ec. (4) es la manifestación de una transformación de calibre en el formalismo hamiltoniano, y las restricciones de primera clase generan tales transformaciones de calibre. Nota: una argumentación más cuidadosa de lo anterior concluye solo que todas las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de calibre, y la afirmación de que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre se denomina conjetura de Dirac , que generalmente se supone que es cierta, pero para cuyos contraejemplos existen, véase Henneaux/Teitelboim.

5. Las restricciones de segunda clase no generan transformaciones de calibre: esto es evidente porque la ec. (4) nos dice que$\delta \chi_i \neq 0$para al menos uno$\chi_j$, lo que significa que transformarían las propias restricciones, asignando estados permitidos del sistema a estados no permitidos. Esto es consistente con la observación de que al fijar un indicador, seleccionar un conjunto ad hoc adicional de restricciones$C_i(q,p) = 0$de modo que no queden funciones arbitrarias en las soluciones de las ecuaciones de movimiento; todas las restricciones se vuelven de segunda clase.

6. Finalmente, podemos llegar a la discusión de las simetrías de medida reales de la acción que conocemos y amamos. Una simetría de calibre arbitraria infinitesimal de una acción.$S = \int L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t$tiene la forma

   $$\delta q^i = f^{(0)} \epsilon + f^{(1)} \dot{\epsilon} + \dots = \sum_{i=1}^{l} f^{(i)} \frac{\mathrm{d}^i \epsilon}{\mathrm{d}t^i},$$ donde el$f^{(i)}$son funciones de la$q$y sus derivados y$\epsilon$es una función arbitraria del tiempo. La acción hamiltoniana es $$S_H = \int (p_i \dot{q}^i - H_0 - v^i \gamma_i)\mathrm{d}t,$$ y produce la acción lagrangiana original tras la eliminación de los multiplicadores de Lagrange$v^i$, preservando todas las simetrías, lo que significa una simetría de norma de$S_H$es también uno de$S_L$.

   Es bastante tedioso, pero posible, verificar explícitamente que cada transformación de calibre generada por la ecuación. (4) es una simetría de calibre de esta acción, ver nuevamente Henneaux/Teitelboim, capítulo 3. Sin embargo, necesitamos la conjetura de Dirac para saber que todas las restricciones generan transformaciones de calibre y que no hay simetrías de calibre extra.

La siguiente lista de suposiciones (una vez más de H/T) es suficiente pero no necesaria para establecer la conjetura de Dirac:

• El proceso que encuentra las restricciones secundarias, terciarias, etc. nunca produce la misma restricción en dos pasos diferentes, lo que significa que está bien definido preguntarle a una restricción si es primaria o terciaria.

• El proceso que encuentra las restricciones más altas separa limpiamente las restricciones de primera y segunda clase, es decir, una restricción de primera clase nunca genera una restricción de segunda clase y viceversa.

• Los corchetes de primera clase$[H,\gamma_a] = V_a^b \gamma_b$son "funciones suficientemente agradables", en particular las matrices$V_{m_i}^{m_j}$dónde$m_i$denota los índices para las restricciones de una generación en particular, tienen rango máximo.

En conjunto, encontramos que si se cumplen las condiciones anteriores (o si la conjetura de Dirac se cumple de todos modos) y si la degeneración eq. (3) no es causada únicamente por restricciones de segunda clase, entonces hay una equivalencia entre la degeneración y la existencia de simetrías de calibre de la acción. Tenga en cuenta que, según nuestra definición inicial de una teoría de calibre, esto significa que no todas las "teorías de calibre" poseen transformaciones de calibre.