Ecuaciones de movimiento de una partícula libre sobre una esfera

Question

Ecuaciones de movimiento de una partícula libre sobre una esfera

alvise s

Derivé las ecuaciones de movimiento para una partícula restringida en la superficie de una esfera Parametrizando la trayectoria en función del tiempo a través de la habitual $\theta$ y $\phi$ ángulos, estas ecuaciones dicen:

\ddot{θ} = {\dot{ϕ}}^{2} pecado θ porque θ

$\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2 \sin \theta \cos \theta$

\ddot{ϕ} = - 2 \dot{ϕ} \dot{θ} \frac{1}{broncearse θ}

$\ddot{\phi} = - 2 \dot{\phi} \dot{\theta} \frac{1}{\tan \theta}$

Los he obtenido a partir del Lagrangiano del sistema y utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Mi pregunta es simple: ¿hay alguna manera (una sustitución inteligente, tal vez) de continuar y resolver las ecuaciones diferenciales? Estaría interesado incluso en una solución más simple, parcialmente integrada. ¿O es una solución numérica la única manera?

DelCrosB

¿Qué Lagrangiano usaste para el sistema?

qmecanico

@DelCrosB: El Lagrangiano en eq. (1) de mi respuesta Phys.SE aquí .

DelCrosB

@Qmechanic: Eso es lo que yo usaría también. Pero no veo cómo provienen de allí las ecuaciones EL en el OP. no es

ϕ

$\phi$ una coordenada cíclica, dando

\ddot{ϕ} = 0

$\ddot{\phi}=0$ ¿como debería ser?

DanielSank

1) Esto probablemente se adapte mejor a Math Stack Exchange. 2) Se requieren preguntas como esta para mostrar esfuerzo e identificar un problema conceptual específico sobre el que desea preguntar. Preguntar "¿cómo soluciono esto?" no es compatible con este sitio. Consulte el centro de ayuda para obtener más información.

Respuestas (4)

Ecuaciones de movimiento de una partícula libre sobre una esfera

@DelCrosB: El Lagrangiano en eq. (1) de mi respuesta Phys.SE aquí .
@Qmechanic: Eso es lo que yo usaría también. Pero no veo cómo provienen de allí las ecuaciones EL en el OP. no es $\phi$ una coordenada cíclica, dando $\ddot{\phi}=0$ ¿como debería ser?
1) Esto probablemente se adapte mejor a Math Stack Exchange. 2) Se requieren preguntas como esta para mostrar esfuerzo e identificar un problema conceptual específico sobre el que desea preguntar. Preguntar "¿cómo soluciono esto?" no es compatible con este sitio. Consulte el centro de ayuda para obtener más información.

Gerente de Jacob · Answer 1

Tenga en cuenta que puede reescribir su segunda ecuación como

\frac{\ddot{ϕ}}{\dot{ϕ}} = - 2 cuna (θ) \dot{θ}

$\frac{\ddot{\phi}}{\dot{\phi}} = -2\cot{(\theta)}\dot{\theta}$ Cada lado es un diferencial exacto en una variable, por lo que podemos integrar, y Wolfram|Alpha da

en (\dot{ϕ}) = - 2 en (pecado (θ)) + C

$\ln{(\dot{\phi})}=-2\ln{(\sin{(\theta)})}+C$ para alguna constante de integración

C

$C$ . Podemos exponenciar para obtener

\dot{ϕ} = \frac{B}{pecado {(θ)}^{2}}

$\dot{\phi}=\frac{B}{\sin{(\theta)}^2}$

Sustituyendo esto en la primera ecuación se obtiene

\ddot{θ} = B^{2} \frac{porque (θ)}{pecado {(θ)}^{3}}

$\ddot{\theta}=B^2\frac{\cos{(\theta)}}{\sin{(\theta)}^3}$ Esto también se puede integrar a través del "truco de la energía": multiplicar por

θ

$\theta$ , luego integre. El LHS se integra por partes para

{\dot{θ}}^{2}

$\dot{\theta}^2$ pero el RHS parece lo suficientemente complicado como para no escribirlo en mi teléfono.

Ján Lalinský · Answer 2

En caso de que la partícula no esté sujeta a ninguna fuerza externa excepto aquellas que mantienen la restricción, no hay necesidad de escribir y resolver las ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas particular. La partícula se moverá con velocidad constante alrededor de un gran círculo en la esfera. El círculo que será y la velocidad del movimiento están determinados por la posición inicial y la velocidad de la partícula.

Sean E. Lago · Answer 3

Verifiqué, y estas ecuaciones de movimiento corresponden al movimiento en un Lagrangiano libre. Algo que te facilitará la vida al resolver esto es reconocer que aquí se conserva el momento angular. Como se garantiza que la velocidad es perpendicular al radio:

\begin{aligned} | L | & = metro v r \\ = metro r (\dot{θ} + \dot{ϕ} pecado θ) \\ | \dot{L} | & = metro r (\ddot{θ} + \ddot{ϕ} pecado θ + \dot{ϕ} \dot{θ} porque θ) = 0. \end{aligned}

$\begin{align} |\mathbf{L}| &= mvr \\ & = mr \left(\dot{\theta} + \dot{\phi}\sin\theta\right) \\ |\dot{\mathbf{L}}| & = mr\left(\ddot{\theta} + \ddot{\phi}\sin\theta + \dot{\phi}\dot{\theta}\cos\theta\right) = 0.\end{align}$ Debería poder combinar las ecuaciones de movimiento que tiene para mostrar esa última línea. tambien tienes eso

| L | = I ω

$|L| = I\omega$ y porqué

I

$I$ es fijo, eso significa que la tasa de cambio de alguna variable angular es constante. La sugerencia final que doy es que debería ver cómo las rotaciones se pueden definir como rotaciones alrededor de un eje por un ángulo .

chandrasekhar17 · Answer 4

Teniendo en cuenta que conoce la conservación del momento angular total en una esfera (si no, lo demostraré a continuación), del lagrangiano que creo que está usando obtiene:

L = \frac{1}{2} R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {pecado}^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2})

$\mathcal{L}=\dfrac{1}{2}R^2\left(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\phi^2\right)$

{yo}_{θ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = \dot{θ}

$l_\theta=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta}=\dot\theta$

{yo}_{ϕ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = {pecado}^{2} θ \dot{ϕ} = C o norte s t (desde \frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0)

$l_\phi=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}=\sin^2\theta\,\dot\phi=const\quad \left(\text{since }\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0\right)$

para $r=R\,$ fijo para una esfera de radio $R$ . Puedes ver $l_\theta$ y $l_\phi$ son los momentos conjugados asociados a $\theta$ y $\phi$ , respectivamente.

El momento angular total del sistema $L$ obedece a lo siguiente:

L^{2} = metro R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {pecado}^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2})

$L^2=mR^2\left(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\phi^2\right)$

Definición $l^2=\dfrac{L^2}{mR^2}$ y usando lo que encontramos arriba: $\,\dot\theta^2=l_\theta^2\quad\text{and}\quad\,\dot\phi^2=\dfrac{l_\phi^2}{\sin^4\theta}$ .

De este modo:

$l^2=l_\theta^2+\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}$

Nos gustaría mostrar que este momento angular total también se conserva. Teniendo en cuenta que diferenciar respecto a un parámetro $\lambda$ obtenemos que esto se conserva para la curva parametrizada por $\lambda$ :

\frac{d {yo}^{2}}{d λ} = \frac{d}{d λ} {\dot{θ}}^{2} + \frac{d}{d λ} (\frac{{yo}_{ϕ}^{2}}{{pecado}^{2} θ}) = 2 (\ddot{θ} - {\dot{ϕ}}^{2} pecado θ porque θ) \dot{θ} = 0

$\dfrac{d\,l^2}{d\lambda}=\dfrac{d}{d\lambda}\,\dot\theta^2+\dfrac{d}{d\lambda}\left(\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}\right)=2\left(\ddot\theta-\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta\right)\dot\theta=0$

porque el resultado implica la ecuación de movimiento para $\theta$ ya calculaste, cuando es igual a cero.

Además,

\dot{θ} = \sqrt{{yo}^{2} - \frac{{yo}_{ϕ}^{2}}{{pecado}^{2} θ}}

$\dot\theta=\sqrt{l^2-\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}}$

\dot{ϕ} = \frac{{yo}_{ϕ}}{{pecado}^{2} θ}

$\dot\phi=\dfrac{l_\phi}{\sin^2\theta}$

y desde aquí también puedes intentar integrar ambas ecuaciones por separado. Mi recomendación sería tratar de encontrar $\phi=\phi(\theta)$ , así que por ejemplo puedes hacer:

\dot{ϕ} = \frac{d ϕ}{d θ} \dot{θ}

$\dot\phi=\dfrac{d\phi}{d\theta}\dot\theta$

Y lo que es más:

\frac{d ϕ}{d θ} \sqrt{{yo}^{2} - \frac{{yo}_{ϕ}^{2}}{{pecado}^{2} θ}} = \frac{{yo}_{ϕ}}{{pecado}^{2} θ}

$\dfrac{d\phi}{d\theta}\sqrt{l^2-\dfrac{l_\phi^2}{\sin^2\theta}}=\dfrac{l_\phi}{\sin^2\theta}$

\Rightarrow \frac{d ϕ}{d θ} = \frac{{yo}_{ϕ}}{yo} \frac{1}{pecado θ \sqrt{{pecado}^{2} θ - {(\frac{{yo}_{ϕ}}{yo})}^{2}}}

$\Rightarrow\quad\dfrac{d\phi}{d\theta}=\dfrac{l_\phi}{l}\dfrac{1}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-\left(\frac{l_\phi}{l}\right)^2}}$

Finalmente, integrando el respeto a $\theta$ lleva a :

ϕ (θ) = ϕ_{0} + arcán (\frac{\frac{{yo}_{ϕ}}{yo} porque θ}{\sqrt{{pecado}^{2} θ - {(\frac{{yo}_{ϕ}}{yo})}^{2}}})

$\phi(\theta)=\phi_0+\arctan\left(\dfrac{\frac{l_\phi}{l}\cos\theta}{\sqrt{\sin^2\theta-\left(\frac{l_\phi}{l}\right)^2}}\right)$

Puede usar cualquier trazador que conozca para ver cómo esto puede proporcionarle partes del arco de una esfera (paralelos y meridianos, por ejemplo) para un gráfico 3D paramétrico, configurando $(r=R,\theta\in[0,\pi],\phi=\phi(\theta))$ . Puede obtener, por ejemplo, el ecuador para $l_\phi=0$ .

Ecuaciones de movimiento de una partícula libre sobre una esfera

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DanielSank

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Gerente de Jacob

Ján Lalinský

Sean E. Lago

chandrasekhar17

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