Coordenadas generalizadas en rotación 3D

Su error es suponer que el número de restricciones es$N(N-1)/2$. Este número solo es cierto para$N\leq 4$.

Etiquetemos las partículas por$1,2,\ldots,N$y decir eso$\bar{ij}$denota la restricción entre partículas$i$y$j$. Para una partícula no hay restricción. Para dos partículas hay una restricción (ver los diagramas a continuación). Si$N=3$tenemos tres restricciones:$\bar{12},\bar{13},\bar{23}$. Agrega una cuarta partícula y ganamos otras tres restricciones:$\bar{14}$y$\bar{24}$fijar la distancia de la partícula$4$a partículas$1$y$2$y$\bar{34}$que prohibe a la cuarta partícula girar alrededor del eje que une$1$y$2$. Esto fija la distancia de$4$a$3$. Esto da un total de seis restricciones. Finalmente considere agregar una partícula más. Ahora las cosas se ponen diferentes. Las nuevas restricciones$\bar{15},\bar{25}$fijar la distancia a$1$y$2$. La única libertad que aún tiene la sexta partícula es la de girar alrededor de la línea que une$1$y$2$. Por lo tanto, solo una restricción más, digamos$\bar{13}$, es suficiente para fijar rígidamente la sexta partícula. El número total de restricciones en este caso es seis.

Como puede ver en esta construcción, la primera partícula agregó cero restricciones, la segunda agregó una restricción, la tercera agregó dos restricciones y la n-ésima ($n\geq 4$) uno agregó tres restricciones. El número total de restricciones para$N\geq 5$partículas es por lo tanto$1+2+3(N-3)=3(N-2)$. Por lo tanto, hay$3N-3(N-2)=6$grados de libertad.