¿Qué son los multiplicadores de Lagrange con respecto a las restricciones holonómicas en la mecánica clásica?

Question

¿Qué son los multiplicadores de Lagrange con respecto a las restricciones holonómicas en la mecánica clásica?

acción
Física
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

látigo cuántico

Para hacerlo simple y llanamente, si tengo una restricción holonómica, que quiero tratar usando un multiplicador de lagrange, en cualquier libro de texto que me concierna, simplemente se expresan como " $\lambda$ " (omitiendo posibles argumentos). Lo que me gustaría saber es si un multiplicador de lagrange es algo así como " $\lambda(t)$ ", eso sería $\lambda$ ser un grado de libertad adicional, cuya dependencia temporal aún no se conoce. O, en cambio, ¿es el multiplicador de lagrange una extensión (aún por determinar exactamente) de la función de lagrange, y como tal? $\lambda(q, \dot{q}, t)$ "?

Ampliaré mis pensamientos aquí sobre por qué creo que ambas versiones funcionan: Comenzando con " $\lambda(q, \dot{q}, t)$ ", El Lagrangiano completo del Sistema sería

L = L (q, \dot{q}, t) - λ (q, \dot{q}, t) F (q, t)

$\mathcal L = L(q, \dot{q},t) - \lambda(q, \dot{q},t) f(q,t)$ Variaciones en los caminos

δ q

$\delta q$ y el requisito de que

f (q (t), t) = 0

$f(q(t),t)=0$ retiene, producirá el EOM correcto:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q (t), \dot{q} (t), t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q (t), \dot{q} (t), t) = \frac{d}{d t} \frac{\partial λ}{\partial \dot{q}} (q (t), \dot{q} (t), t) - \frac{\partial λ}{\partial q} (q (t), \dot{q} (t), t)) F (q (t), t) + \frac{\partial λ}{\partial \dot{q}} (q (t), \dot{q} (t), t) \frac{d}{d t} F (q (t), t) + λ (q (t), \dot{q} (t), t) \frac{\partial F}{\partial q}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial \lambda }{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \lambda}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t))f(q(t), t) + \frac{\partial \lambda}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t) \frac{d}{dt}f(q(t),t) + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$

Aplicando las restricciones, $f = 0$ y $\frac{d}{dt} f = 0$ , entonces obtenemos:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q (t), \dot{q} (t), t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q (t), \dot{q} (t), t) = + λ (q (t), \dot{q} (t), t) \frac{\partial F}{\partial q}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$ Y

F (q (t), t) = 0

$f(q(t), t) = 0$ que son sólo las ecuaciones que describen el movimiento del sistema.

Alternativamente, (como se dijo), puedo tratar los multiplicadores como grados de libertad adicionales en el espacio de configuración. El lagrangiano total, dependiente de $q$ , $\dot{q}$ , $\lambda$ , $\dot{\lambda}$ (esta dependencia solo se enumera aquí para completar, el lagrangiano total no dependerá de $\dot{\lambda}$ ) y t es:

L (q, \dot{q}, t) - λ (t) F (q, t)

$L(q, \dot{q},t) - \lambda(t) f(q,t)$ Las ecuaciones de Lagrange serán entonces:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q (t), \dot{q} (t), t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q (t), \dot{q} (t), t) = λ (t) \frac{\partial F}{\partial q} (q (t), t)

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t), \dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t), \dot{q}(t), t) = \lambda(t) \frac{\partial f}{\partial q}(q(t), t)$ Y

F (q (t), t) = 0

$f(q(t), t) = 0$

Ambos métodos, aunque utilizan suposiciones diferentes, producen las mismas ecuaciones de movimiento. ¿Cuál es más factible? ¿Hay casos en los que mi razonamiento no funciona, que favorecen una de las dos opciones que he dado?

Respuestas (2)

¿Qué son los multiplicadores de Lagrange con respecto a las restricciones holonómicas en la mecánica clásica?

Diracología · Answer 1

Lo que notó es que puede haber una descripción dual de los sistemas lagrangianos bajo restricciones holonómicas.

Considere un sistema lagrangiano con $n$ variables y $m$ restricciones holonómicas. Los multiplicadores de Lagrange en realidad pueden verse simplemente como funciones indeterminadas elegidas de modo que

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \sum_{a} λ_{a} \frac{\partial F_{a}}{\partial q_{i}} = 0,

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i}=0,$ para

m

$m$ del

q_{i}

$q_i$ . El restante

n - m

$n-m$ las variables pueden variar independientemente y el problema ha

n - m

$n-m$ grados de libertad.

Por otro lado, los multiplicadores de Lagrange también pueden verse como nuevas variables independientes, $\lambda_a(t)$ . Dado un lagrangiano $L(q,\dot q,t)$ y $m$ restricciones holonómicas $f_a(q,t)=0$ entonces podemos formular un problema dual que consiste en el lagrangiano dual sin restricciones

\begin{matrix} (1) & \tilde{L} (q, \dot{q}, λ, t) = L (q, \dot{q}, t) + \sum_{a} λ_{a} (t) F_{a} (q, t) . \end{matrix}

$\tilde L(q,\dot q,\lambda,t)=L(q,\dot q,t)+\sum_a \lambda_a(t)f_a(q,t).\tag 1$ Los multiplicadores de lagrange

λ_{a} (t)

$\lambda_a(t)$ entonces se consideran nuevas variables independientes en un problema variacional con

n + m

$n+m$ grados de libertad. Variación con respecto a

q_{i}

$q_i$ da las ecuaciones dinámicas,

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \sum_{a} λ_{a} \frac{\partial F_{a}}{\partial q_{i}},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i},$ mientras que la variación con respecto a

λ_{a}

$\lambda_a$ dar las ecuaciones de restricción,

F_{a} (q, t) = 0.

$f_a(q,t)=0.$

Tenga en cuenta que esta descripción dual no se cumple para restricciones no holonómicas, ya que no podemos escribir un lagrangiano dual como (1) debido a la falta de ecuaciones de restricción de la forma $f_a=0$

Entonces, en principio, ¿usted dice que mientras una de las versiones sea posible, no se favorece a la otra?
Son completamente equivalentes incluso desde el punto de vista práctico. Simplemente prefiero el segundo porque es más fácil recordar el procedimiento. También puede ser un poco más elegante.

qmecanico · Answer 2

Convencionalmente, el conteo es como sigue: Hay tantos multiplicadores de Lagrange $\lambda_i(t)$ ya que hay restricciones $f^i(t)\approx 0$ . Dado que una restricción $f^i(t)\approx 0$ debe satisfacerse en cada instante $t$ , hay un multiplicador de Lagrange $\lambda_i(t)$ por cada instante $t$ . Equivalentemente: los multiplicadores de Lagrange $\lambda_i(t)$ depende del tiempo $t$ .

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