Principio de Hamilton con restricciones no holonómicas en Goldstein

Question

Principio de Hamilton con restricciones no holonómicas en Goldstein

Física
libro de texto-errata
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

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Estoy estudiando Mecánica clásica de Goldstein , 3.ª edición internacional, 2013. En la sección 2.4, analizó el principio de Hamilton con restricciones no holonómicas. Las restricciones se pueden escribir en la forma

\begin{matrix} (2.24) & F_{α} (q_{1}, . . ., q_{norte}; \dot{q_{1}}, . . ., \dot{q_{norte}}; t) = 0 \end{matrix}

$f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)~=~0\tag{2.24}$ dónde

α = 1, . . ., m

$\alpha=1,...,m$ . Usando el principio variacional, obtenemos

\begin{matrix} (2.26) & d \int_{t_{1}}^{t_{2}} (L + \sum_{α = 1}^{metro} m_{α} F_{α}) d t = 0 \end{matrix}

$\delta\int_{t_1}^{t_2}\left(L+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha f_\alpha\right)\mathrm dt=0 \tag{2.26}$

dónde $\mu_\alpha=\mu_\alpha(t)$ .

Pero, ¿cómo puede obtener la fórmula?

\begin{matrix} (2.27) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = - \sum_{α = 1}^{metro} m_{α} \frac{\partial F_{α}}{\partial \dot{q_{k}}} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=-\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}} \tag{2.27}$

para $k=1,...,n$ de la fórmula anterior?

Cuando sigo los pasos como en la sección 2.3, obtengo

\frac{d I}{d β} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k = 1}^{norte} (\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}} + \sum_{α = 1}^{metro} m_{α} (\frac{\partial F_{α}}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial F_{α}}{\partial \dot{q_{k}}})) \frac{\partial q_{k}}{\partial β} d t

$\frac{dI}{d\beta}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha\left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)\right)\frac{\partial q_k}{\partial\beta}\mathrm dt$ dónde

β

$\beta$ denota el parámetro de pequeño cambio de trayectoria:

\begin{aligned} q_{1} (t, β) & = q_{1} (t, 0) + β η_{1} (t) \\ q_{2} (t, β) & = q_{2} (t, 0) + β η_{2} (t) \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} q_1(t,\beta)&=q_1(t,0)+\beta\eta_1(t)\\ q_2(t,\beta)&=q_2(t,0)+\beta\eta_2(t)\\ &\ \,\,\vdots \end{align}$ Usando el mismo argumento que en la parte de la restricción holonómica en la sección 2.4, obtengo

\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}} + \sum_{α = 1}^{metro} m_{α} (\frac{\partial F_{α}}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial F_{α}}{\partial \dot{q_{k}}}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)=0$ para

k = 1, . . ., n

$k=1,...,n$ .

¿Qué me estoy perdiendo?

Diracología

Estoy bastante seguro de que la derivación no es tan sencilla como podría estar sugiriendo Goldstein. Tenga en cuenta que si sigue su enfoque con cuidado, obtiene (solo una restricción por simplicidad)

\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} + μ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} (μ \frac{\partial f}{\partial {\dot{q}}_{i}}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , ya que el multiplicador depende del tiempo. Esto significa que debe conocer la derivada temporal de

μ

$\mu$ pero esto no tiene mucho sentido (al menos para mí).

dirácula

Por lo que puedo decir, su redacción de las restricciones es como en la tercera edición, pero el resultado que cita parece ser como en la segunda edición (parece ser la ecuación 2.27 en la segunda edición en lugar de la tercera). Me parece que los tratamientos (en particular, los tipos de restricciones considerados) en los dos casos son realmente muy diferentes, y que la confusión proviene de mezclar los dos. En particular, en la tercera edición, donde usan las restricciones que usas, dan el resultado que ha sugerido @Diracology.

Respuestas (1)

Principio de Hamilton con restricciones no holonómicas en Goldstein

Estoy bastante seguro de que la derivación no es tan sencilla como podría estar sugiriendo Goldstein. Tenga en cuenta que si sigue su enfoque con cuidado, obtiene (solo una restricción por simplicidad) $\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , ya que el multiplicador depende del tiempo. Esto significa que debe conocer la derivada temporal de $\mu$ pero esto no tiene mucho sentido (al menos para mí).
Por lo que puedo decir, su redacción de las restricciones es como en la tercera edición, pero el resultado que cita parece ser como en la segunda edición (parece ser la ecuación 2.27 en la segunda edición en lugar de la tercera). Me parece que los tratamientos (en particular, los tipos de restricciones considerados) en los dos casos son realmente muy diferentes, y que la confusión proviene de mezclar los dos. En particular, en la tercera edición, donde usan las restricciones que usas, dan el resultado que ha sugerido @Diracology.

qmecanico · Answer 1

TL; DR: tenga en cuenta que el tratamiento de las ecuaciones de Lagrange para restricciones no holonómicas en Refs. 1 y 2 es inconsistente con las leyes de Newton, y se ha retractado en la página de inicio de erratas para la Ref. 2. Ver ref. 3 para más detalles.

Explicación más larga:

El punto principal de la sección 1.4 de Goldstein fue partir del principio de d'Alembert (DAP) y derivar ecuaciones de Lagrange (LE) para restricciones holonómicas $^1$ .
Por lo tanto (aunque es cierto que Goldstein no afirma esto claramente $^2$ ), el punto principal de la sección 2.4 debería ser comenzar desde DAP y derivar LE para restricciones no holonómicas afines (= restricciones semi-holonómicas ).
De hecho, de manera más general, para restricciones independientes no holonómicas de una forma
$\begin{matrix} (NH1C) & \begin{aligned} ω_{ℓ} \equiv & \sum_{j = 1}^{norte} a_{ℓ j} (q, \dot{q}, t) d q^{j} + a_{ℓ 0} (q, \dot{q}, t) d t = 0, \\ ℓ \in & {1, \dots, metro}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\omega_{\ell}~\equiv~& \sum_{j=1}^na_{\ell j}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}q^j+ a_{\ell 0}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t~=~0, \cr \ell~\in~&\{1,\ldots, m\}, \end{align} \tag{NH1C}$ uno puede mostrar que DAP conduce a LE $\begin{matrix} (EL) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}^{j}} - \frac{\partial T}{\partial q^{j}} = & q_{j} + \sum_{ℓ = 1}^{metro} λ^{ℓ} a_{ℓ j}, \\ j \in & {1, \dots, norte} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} a_{\ell j}, \cr j~\in ~&\{1,\ldots, n\}.\end{align} \tag{LE}$
Ahora ref. 1 y 2 utilizan en su lugar restricciones no holonómicas independientes
$\begin{matrix} (CNH) & F_{ℓ} (q, \dot{q}, t) = 0, ℓ \in {1, \dots, metro} . \end{matrix}$ $f_{\ell}(q,\dot{q},t)~=~0, \qquad \ell~\in~ \{1,\ldots, m\}. \tag{NHC}$ ecuaciones (NHC) y (NH1C) son equivalentes para restricciones no holonómicas afines, pero no en general.
ecuación (2.27) en la ref. 1 son esencialmente las ecuaciones de Chetaev (CE) [5]
$\begin{matrix} (CE) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}^{j}} - \frac{\partial T}{\partial q^{j}} = & q_{j} + \sum_{ℓ = 1}^{metro} λ^{ℓ} \frac{\partial F_{ℓ}}{\partial {\dot{q}}^{j}}, \\ j \in & {1, \dots, norte} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell}\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}, \cr j~\in~& \{1,\ldots, n\}. \end{align}\tag{CE}$ DAP más restricciones no holonómicas afines (donde $\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ tiene rango máximo) implica CE, pero no para restricciones generales no holonómicas [6].

Referencias:

H. Goldstein, Classical Mechanics, 3.ª edición internacional, 2013; Sección 2.4. ecuación (2.26) es incorrecto/engañoso en el mejor de los casos.
H. Goldstein, Mecánica Clásica, 3.ª ed., 2001; Sección 2.4. Página de inicio de erratas . (Tenga en cuenta que esta crítica solo se refiere al tratamiento en la 3.ª edición; los resultados de la 2.ª edición son correctos).
MR Flannery, El enigma de las restricciones no holonómicas, Am. J. física. 73 (2005) 265 .
EJ Saletan y AH Cromer, Un principio de variación para sistemas no holonómicos, Am. J. física. 38 (1970) 892 . Árbitro. 1 cita Ref. 4.
NG Chetaev, Izv. Fiz.-Mat. obsc. Kaz. Universidad 6 (1933) 68. El término Chetaev $\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} \frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ es invariante bajo reparametrizaciones de las restricciones $f^{\prime}_k= f_{\ell} M^{\ell}{}_k$ y $\lambda^{\ell}=M^{\ell}{}_k\lambda^{\prime k}$ .
MR Flannery, dinámica analítica de D'Alembert-Lagrange para sistemas no holonómicos, J. Math. física 52 (2011) 032705 ; pag. 22

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$^1$ En esta respuesta asumiremos la regla de conmutatividad

\begin{matrix} (CR) & \frac{d}{d t} d q^{j} = d \frac{d}{d t} q^{j}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\delta q^j=\delta \frac{d}{dt}q^j,\tag{CR}$ cf. por ejemplo , esta publicación Phys.SE relacionada.

$^2$ Goldstein se refiere confusamente al principio de Hamilton , que va en contra del paradigma principal de utilizar las leyes de Newton como primer principio.

Idea para más adelante: Considere el Hamiltoniano Lagrangiano $L_H=\sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j -H(q,p,t) +\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} f_{\ell}(q,p,t)$ .
Notas para más tarde: Restricciones no holonómicas $f_{\ell}(q,\dot{q},t)=0$ con la condición de rango pertinente se puede traer en forma normal $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ . No está claro cómo aplicar el principio de d'Alembert. forma normal $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ no es equivalente a una forma $\mathrm{d}q^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)\mathrm{d}t=0$ . Si lo fueran, también violaría las ecuaciones de Chetaev.

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