Soluciones de una Ecuación Diferencial Lineal No Homogénea.

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Soluciones de una Ecuación Diferencial Lineal No Homogénea.

cálculo
Matemáticas
ecuaciones diferenciales ordinarias

usuario435638

Dejar $1 ,x$ y $x^2$ Sea la solución de una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden en $-1 < x < 1$ , entonces su solución general que involucra constantes arbitrarias se puede escribir como:

(a) $c_1(1-x) + c_2(x - x^2) +1$

(b) $c_1(x) + c_2 ( x^2) +1$

(C) $c_1(1+x) + c_2(1 + x^2) +1$

(d) $c_1 + c_2 x + x^2$

Ahora, sé esto: la solución general de tal ecuación diferencial se escribe como:

$Y = c_1 f + c_2 g + \text{P.I.}$

dónde $f$ y $g$ son dos soluciones linealmente independientes y $P.I.$ denota la integral particular obtenida al resolver la parte no homogénea.

Entonces, usando este hecho, sé que las opciones (b) y (c) son falsas porque la función depende linealmente del intervalo dado.

Sin embargo, estoy confundido entre (a) y (d). Las funciones dadas son linealmente independientes, pero no tengo idea de cómo decidir la integral particular.

¿Alguien puede decirme cómo debo abordar las opciones (a) y (d)?

Gracias.

usuario577215664

bd parece una solución a la ecuación no homogénea de Euler Cauchy. Para d podemos tener

y^{″} - y^{'} = 2 e^{2 t}

$y''-y'=2e^{2t}$ Consulte wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-y%27%3D2e%5E%282t%29

usuario577215664

¿Qué te hace pensar que b no es una respuesta correcta?

Axion004

Dos funciones

y_{1}

$y_1$ y

y_{2}

$y_2$ Se dice que son linealmente independientes si ninguna de las funciones es un múltiplo constante de la otra. Por lo tanto,

f (x) = 1, g (x) = x, h (x) = x^{2}

$f(x)=1,g(x)=x,h(x)=x^2$ son linealmente independientes y

(b)

$(b)$ sin duda podría ser la solución general.

Axion004

soy capaz de reescribir

(a), (c)

$(a),(c)$ como

c_{1} + c_{2} (x) + c_{3} (x^{2})

$c_1+c_2(x)+c_3(x^2)$ mientras

(b)

$(b)$ es

c_{1} (x) + c_{2} (x^{2}) + 1

$c_1(x)+c_2(x^2)+1$ (colocar

c_{3} = 1

$c_3=1$ ) y

(d)

$(d)$ es

c_{1} + c_{2} x + x^{2}

$c_1+c_2x+x^2$ (colocar

c_{3} = 1

$c_3=1$ ). Entonces, parece que uno o dos de estos deberían ser incorrectos.

usuario435638

@Isham: estoy de acuerdo con su observación para la opción (b), pero tengo una confusión si calculo el wronskian de la función dada, entonces se convierte en cero para

x = - 1 + \sqrt{2}

$x = -1 + \sqrt{2}$ y entonces creo que las funciones son linealmente dependientes.

usuario435638

@Isham: ¿Puede decirme cuál es la falla en el razonamiento anterior?

usuario577215664

debe ser cero en todas partes y ese no es el caso. Como puede mostrar fácilmente para la opción b en.wikipedia.org/wiki/…

usuario577215664

Integre la ecuación que di en mi respuesta para la opción B y D. Obtendrá las soluciones proporcionadas en su libro. Integrar

y^{″} = 2

$y''=2$ para la opción b por ejemplo. La opción B es una respuesta correcta.

usuario577215664

Me parece que estás un poco confundido acerca del Wronskiano. Cuando hay dependencia, el wronskiano debe ser al menos cero en todas partes. Ese no es el caso de b. Puede encontrar fácilmente una x en el intervalo dado para el cual el wronskiano no es cero.

usuario435638

@Isham: Sé que si Wronskian desaparece en cierto punto , no significa necesariamente que las funciones sean Ld. de una ecuación diferencial es idénticamente cero o nunca cero. Mi pregunta es: ¿Es esta afirmación solo cierta para ecuaciones diferenciales homogéneas? Te agradecería mucho si me despejas esta duda.

usuario577215664

Luego intente calcular el wronskiano de

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ es igual a

x^{2}

$x^2$ . Pero se desvanece en

x = 0

$x=0$ y el cero está en el intervalo dado... ¿Entonces? De acuerdo a ti

x, x^{2}

$x,x^2$ son linealmente dependientes?

usuario435638

@Isham: No, son independientes, si usamos la definición que

c_{1} f + c_{2} g = 0

$c_1f +c_2g =0$ son linealmente independientes iff

c_{1} = c_{2} = 0

$c_1 =c_2 =0$ entonces esto es cierto para

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$

usuario577215664

Por lo tanto, el wronskiano se puede usar para mostrar que un conjunto de funciones diferenciables es linealmente independiente en un intervalo al mostrar que no se anula de manera idéntica. Sin embargo, puede desaparecer en puntos aislados.[1] (wikifuente)....

usuario577215664

Cierto porque el wronskiano de

x, x^{2}

$x,x^2$ se desvanece en ciertos puntos, no en todas partes.

Respuestas (1)

Soluciones de una Ecuación Diferencial Lineal No Homogénea.

bd parece una solución a la ecuación no homogénea de Euler Cauchy. Para d podemos tener $y''-y'=2e^{2t}$ Consulte wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-y%27%3D2e%5E%282t%29
Dos funciones $y_1$ y $y_2$ Se dice que son linealmente independientes si ninguna de las funciones es un múltiplo constante de la otra. Por lo tanto, $f(x)=1,g(x)=x,h(x)=x^2$ son linealmente independientes y $(b)$ sin duda podría ser la solución general.
soy capaz de reescribir $(a),(c)$ como $c_1+c_2(x)+c_3(x^2)$ mientras $(b)$ es $c_1(x)+c_2(x^2)+1$ (colocar $c_3=1$ ) y $(d)$ es $c_1+c_2x+x^2$ (colocar $c_3=1$ ). Entonces, parece que uno o dos de estos deberían ser incorrectos.
@Isham: estoy de acuerdo con su observación para la opción (b), pero tengo una confusión si calculo el wronskian de la función dada, entonces se convierte en cero para $x = -1 + \sqrt{2}$ y entonces creo que las funciones son linealmente dependientes.
@Isham: ¿Puede decirme cuál es la falla en el razonamiento anterior?
debe ser cero en todas partes y ese no es el caso. Como puede mostrar fácilmente para la opción b en.wikipedia.org/wiki/…
Integre la ecuación que di en mi respuesta para la opción B y D. Obtendrá las soluciones proporcionadas en su libro. Integrar $y''=2$ para la opción b por ejemplo. La opción B es una respuesta correcta.
Me parece que estás un poco confundido acerca del Wronskiano. Cuando hay dependencia, el wronskiano debe ser al menos cero en todas partes. Ese no es el caso de b. Puede encontrar fácilmente una x en el intervalo dado para el cual el wronskiano no es cero.
@Isham: Sé que si Wronskian desaparece en cierto punto , no significa necesariamente que las funciones sean Ld. de una ecuación diferencial es idénticamente cero o nunca cero. Mi pregunta es: ¿Es esta afirmación solo cierta para ecuaciones diferenciales homogéneas? Te agradecería mucho si me despejas esta duda.
Luego intente calcular el wronskiano de $x$ y $x^2$ es igual a $x^2$ . Pero se desvanece en $x=0$ y el cero está en el intervalo dado... ¿Entonces? De acuerdo a ti $x,x^2$ son linealmente dependientes?
@Isham: No, son independientes, si usamos la definición que $c_1f +c_2g =0$ son linealmente independientes iff $c_1 =c_2 =0$ entonces esto es cierto para $x$ y $x^2$
Por lo tanto, el wronskiano se puede usar para mostrar que un conjunto de funciones diferenciables es linealmente independiente en un intervalo al mostrar que no se anula de manera idéntica. Sin embargo, puede desaparecer en puntos aislados.[1] (wikifuente)....
Cierto porque el wronskiano de $x,x^2$ se desvanece en ciertos puntos, no en todas partes.

usuario577215664 · Answer 1

Para la opción d.

y (X) = C_{1} + C_{2} X + X^{2}

$y(x)=c_1+c_2x+x^2$ sustituto

x = e^{t}

$x=e^t$

y (t) = C_{1} + C_{2} {mi}^{t} + {mi}^{2 t}

$y(t)=c_1+c_2e^t+e^{2t}$

r = 0, r = 1 ⟹ r (r - 1) = 0 ⟹ y^{″} - y^{'} = 0

$r=0, r=1 \implies r(r-1)=0 \implies y''-y'=0$

y^{″} - y^{'} = F (X)

$y''-y'=f(x)$ solución especial es

e^{2 t}

$e^{2t}$

4 {mi}^{2 t} - 2 {mi}^{2 t} = F (X) ⟹ F (X) = 2 {mi}^{2 t}

$4e^{2t}-2e^{2t}=f(x) \implies f(x)=2e^{2t}$ la ecuacion es

y^{″} - y^{'} = 2 {mi}^{2 t}

$y''-y'=2e^{2t}$

⟹ X^{2} y (X)^{″} = 2 X^{2} ⟹ y^{″} (X) = 2

$\implies x^2y(x)''=2x^2 \implies y''(x)=2$

Y $y''=2$ tiene la opción d como solución. Intégralo.

Para la opción $(b)$ tengo la ecuacion

y^{″} (t) - 3 y^{'} (t) + 2 y (t) = 2

$y''(t)-3y'(t)+2y(t)=2$ Da la ecuación de Cauchy-Euler:

⟹ X^{2} y^{″} (X) - 2 X y^{'} (X) + 2 y (X) = 2

$\implies x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2$ Tiene solución:

y (X) = C_{1} X^{2} + C_{2} X + 1

$y(x)=c_1x^2+c_2x+1$

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