Ecuación diferencial relacionada con la conservación de la energía y la ley de gravitación de Newton

He estado tratando de determinar, dada la posición de una masa puntual, una distancia inicial$x_0$de la superficie de un cuerpo esféricamente simétrico con masa$M$y radio$R$, la posición de la masa puntual después de un tiempo$t$ha pasado. Usando la ley de gravitación de Newton (dado que el cuerpo es esféricamente simétrico, podemos tratarlo como una masa puntual) y el principio de conservación de la energía, he establecido la siguiente ecuación diferencial:

$$-\frac{GM}{R+x_0}+\frac{v_0^2}{2}=-\frac{GM}{R+x(t)}+\frac{\dot x^2(t)}{2},x(0)=x_0$$ Suponiendo que configuré esto correctamente (ha pasado un tiempo desde que estudié mecánica), ahora necesito resolver esta ecuación diferencial.

Intento: Podemos reorganizar un poco esta ecuación:

$$GM\left(\frac{1}{R+x}-\frac{1}{R+x_0}\right)+\frac{v_0^2}{2}=\frac{\dot x^2}{2}$$ $$\frac{GM(x_0-x)}{(R+x)(R+x_0)}+\frac{v_0^2}{2}=\frac{\dot x^2}{2}$$ $$\frac{2GM(x_0-x)+v_0^2(R+x)(R+x_0)}{2(R+x)(R+x_0)}=\frac{\dot x^2}{2}$$ $$\dot x=\pm\sqrt\frac{2GM(x_0-x)+v_0^2(R+x)(R+x_0)}{(R+x)(R+x_0)}$$ $$\dot x\sqrt\frac{(R+x)(R+x_0)}{2GM(x_0-x)+v_0^2(R+x)(R+x_0)}=\pm1$$ Ahora esto está en condiciones de ser integrado; la integración es desordenada pero produce una solución general. Sin embargo, tratar de encontrar una solución particular plantea problemas. Mathematica no devolverá una solución con la condición inicial dada. ¿Existe algún método para encontrar una solución particular a esta ecuación diferencial (o una aproximación)?