¿Por qué funciona la separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales? [duplicar]

Cuando se da esta simple ecuación diferencial y una condición,

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x-y} \hspace{1em} , \hspace{1em} C_1 : y(0)=0$$

Utilizando la separación de variables,

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x}\cdot e^{-y} \Rightarrow \ \frac{dy}{e^{-y}}=e^{2x} \ dx$$

$$\int e^{y} \ dy= \int e^{2x} \ dx \Rightarrow \ e^{y} = \frac{e^{2x}}{2} +c$$

Resolviendo para c ,

$$e^{0} = \frac{e^{2(0)}}{2} + c \ \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} +c$$

$$c = \frac{1}{2}$$

Resolviendo para y ,

$$e^y = \frac{e^{2x}}{2} + \frac{1}{2} \ \Rightarrow e^y = \frac{1}{2}(e^{2x} + 1)$$

$$y = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(e^{2x} + 1\right)$$

Finalmente,

$$\boxed{y=\ln\left(e^{2x} + 1\right) -\ln(2)}$$

Pregunta: En el ejemplo anterior podemos ver que el método de separación de variables sí funciona para resolver nuestra ecuación diferencial, pero ¿por qué? ¿Qué sucede realmente cuando se utiliza el método de separación de variables?