Serie de Taylor para yyy que satisface y′(x)=x+y(x)2y′(x)=x+y(x)2y'(x) = x + y(x)^2

De $y(0)=1$obtienes $a_0=1.$Entonces $y=1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+O(x^4).$

La derivada es

$$y'=a_1+2a_2x+3a_3x^2+O(x^3).$$

El cuadrado es

$$y^2=1+2a_1x+(2a_2+a_1^2)x^2+(2a_3+2a_1a_2)x^3+O(x^4)$$

Así, $y'=x+y^2$conduce a

$$a_1+2a_2x+3a_3x^2+O(x^3) = 1+(1+2a_1)x+(2a_2+a_1^2)x^2+(2a_3+2a_1a_2)x^3+O(x^4).$$

Identificar coeficientes

$$a_1=1\\ 2a_2=1+2a_1=3 \implies a_2=3/2 \\ 3a_3=2a_2+a_1^2 = 2\cdot 3/2 + 1^2 = 4 \implies a_3 = 4/3$$

Así , $a_0=1,\ a_1=1,\ a_2=3/2,\ a_3=4/3.$

Si quieres hacerlo de esa manera, necesitas una fórmula genérica. El primer producto de Cauchy te da

$$\left ( \sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k \right )^2 = \sum_{k=0}^{+\infty}c_k x^k$$

$$c_k=\sum_{m=0}^{k}a_m a_{k-m}$$

Necesitamos también:

$$y'=a_1+2a_2x+\sum_{k=2}^{+\infty}(k+1)a_{k+1} x^k$$

y

$$x+y^2=a_0+(2a_0a_1+1)x + \sum_{k=2}^{+\infty}c_k x^k$$

Como $y(0)=1$significa $a_0=1$

A continuación comparamos el primer coeficiente y tenemos

$$a_0=a_1=1$$

Luego comparamos el segundo coeficiente y tenemos

$$2a_2=2a_0a_1+1=3$$

y esto es hacer $a_2=\frac{3}{2}$

y luego tienes

$$\sum_{m=0}^{k}a_m a_{k-m} = (k+1)a_{k+1}$$

que está dando recursivamente

$$a_{k+1}=\frac1{k+1}\sum_{m=0}^{k}a_m a_{k-m}$$

Todos los coeficientes anteriores por debajo de $k+1^{th}$siempre se definen en esta recursión, por lo que puede ir tan lejos como necesite o simplemente mantenerlo genérico.

Finalmente:

$$y(x)=1+x+\frac{3}{2}x^2 + \sum_{k=3}^{+\infty}\left ( \frac1{k+1}\sum_{m=0}^{k}a_m a_{k-m} \right ) x^k$$

No hay nada malo con la respuesta de @ md2perpe, pero creo que esta será más sencilla. Recuerde, estamos evaluando todo esto en $x = 0$. Entonces, se nos da que $y(0) = 1$. Dado que todos estos se evalúan en $x = 0$, esto significa que podemos decir más simplemente $y = 1$al evaluar (pero no al diferenciar). eso es $a_0$en la serie de Taylor ( $a_0 = \frac{y}{0!}$).

El siguiente, lo podemos obtener por evaluación directa del diferencial, porque $a_1 = \frac{y'}{1!}$. Y, tenemos la fórmula para $y'$:

$$y' = x + y^2 = 0 + (1)^2 = 1$$

Ahora, $a_2 = \frac{y''}{2!}$. Podemos encontrar $y''$simplemente tomando la derivada de ambos lados de lo anterior:

$$y'' = 1 + 2y\,y'$$

sabemos $y$(dado) y $y'$(resuelto arriba), por lo que podemos evaluar esto como:

$$y'' = 1 + 2(1)\cdot(1) = 3$$

Ahora, $a_2 = \frac{y''}{2!}$, entonces $a_2 = \frac{3}{2}$.

A continuación, $a_3 = \frac{y'''}{3!}$, entonces necesitamos encontrar $y'''$tomando la derivada de ambos lados de la ecuación para $y''$:

$$y''' = 2y\, y'' + 2(y')^2 \\ = 2(1)(3) + 2 (1)^2 \\ = 6 + 2 = 8$$

Como $a_3 = \frac{y'''}{3!}$, entonces $a_3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Puedes continuar de esta manera indefinidamente.

Pista

Si $y(0)=1$entonces $a_0=1$.

A partir de ahí, puede conectar la expansión de Taylor de $y$y su derivada para obtener los otros $3$coeficientes