Función energética del péndulo

Estoy siguiendo el libro de G.Teschl para ODE y sistemas dinámicos, y en el problema 6.26 me piden encontrar la función de energía del péndulo matemático.$\ddot x = -\mu \dot x - sin(x)$.

El libro muestra una forma estándar (supongo) de encontrar una función de energía, así que traté de emularla de la siguiente manera:

amplificamos$\ddot x = -\mu \dot x - sin(x)$por$\dot x$y obtenemos$\ddot x \dot x= -\mu \dot x^{2} - sin(x)\dot x$que se puede escribir como$\frac{d}{dt} \frac{{\dot x}^{2}}{2} = -\mu \dot x^{2} - sin(x)\dot x$. ahora vamos a llamar$- \dot U(x)=-\mu \dot x - sin(x)$, entonces,$\frac{d}{dt} \frac{{\dot x}^{2}}{2} = -\dot U(x) \dot x$lo que nos lleva a$\frac{d}{dt} (\frac{{\dot x}^{2}}{2} + U(x))=0$. Y esto debería representar la derivada de la función de energía del doble péndulo. Ahora me piden que demuestre que la función de energía podría usarse como una función de Liapunov para probar la estabilidad de$(0,0)$pero no he podido hacer lo último, no he podido resolverlo explícitamente, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Muchas gracias chicos <3